Differentialgeometrie Isometrie

27.06.2013, 21:16

BieneMaja

Differentialgeometrie Isometrie

Gegeben sei ein Diffeomorphismus von regulären Flächen:
$\begin{eqnarray*} f:S_{1}\rightarrow S_{2} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} c:I\rightarrow S_{1} \end{eqnarray*}$ sei eine parametrisierte Kurve
Ich möchte folgende Implikation zeigen:
$\begin{eqnarray*} L[c]=L[f\circ c] \Rightarrow f Isometrie \end{eqnarray*}$
d.h., wenn f die Bogenlänge erhält, ist f eine Isometrie
Isometrie haben wir so definiert: $\begin{eqnarray*} \langle df(X),df(Y) \rangle =\langle X,Y\rangle \forall X,Y\in T_{p}S_{1} \end{eqnarray*}$
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} L[c]=\int_a^b \! | \dot{c(t)}| \, dt= L[f\circ c]=\int_a^b \! | \dot{f(c(t))}| \, dt=\int_a^b | (df)(\dot{c(t)}) | dt \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} df:T_{c(t)}S_{1} \Rightarrow T_{f(c(t))}S_{2} \end{eqnarray*}$ das Differential von f sein soll
$\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ ist ja eine lineare Abbildung und ich weiß, dass linearen Abbildungen genau dann eine Isometrie sind, falls $\begin{eqnarray*} | df(v)| =| v | \forall v\in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ , kann ich das irgendwie benutzen?
Leider wird aus der Gleichheit der Integrale $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! | \dot{c(t)}| \, dt=\int_a^b | (df)(\dot{c(t)}) | dt \end{eqnarray*}$ nicht schon die Gleichheit der zu Integranden $\begin{eqnarray*} | \dot{c(t)}| =| (df)(\dot{c(t)}) | \end{eqnarray*}$ folgen oder?

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich auf die Isometrie komme?

Liebe Grüße
Biene Wink

27.06.2013, 23:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgeometrie Isometrie

Zitat:

Original von BieneMaja
Leider wird aus der Gleichheit der Integrale $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! | \dot{c(t)}| \, dt=\int_a^b | (df)(\dot{c(t)}) | dt \end{eqnarray*}$ nicht schon die Gleichheit der zu Integranden $\begin{eqnarray*} | \dot{c(t)}| =| (df)(\dot{c(t)}) | \end{eqnarray*}$ folgen oder?

Netterweise schon, da die Bedingung für alle Kurven gelten soll.
Du kannst die Grenzen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ also beliebig nahe an einen Punkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ bringen.
Das zeigt dann, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Länge von $\begin{eqnarray*} \cot c(t_0) \end{eqnarray*}$ erhält.

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgeometrie Isometrie

Verwandte Themen