lnx stammfunktion

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27.06.2013, 21:18	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
lnx stammfunktion Wie bestimme ich das integral von lnx^n zb. n=3?
27.06.2013, 21:21	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lnx stammfunktion Es ist nach Logarithmengesetzen $\begin{eqnarray} \ln (x^n)=n \cdot \ln (x) \end{eqnarray}$
27.06.2013, 21:25	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
gikt das auch für (lnx)^3?
27.06.2013, 21:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, selbstverständlich nicht.... Aber bei dem Integral $\begin{eqnarray} \int \ln^3(x) dx \end{eqnarray}$ hilft Substitution: $\begin{eqnarray} \ln(x)=u \end{eqnarray}$ .
27.06.2013, 21:34	albertholz	Auf diesen Beitrag antworten »
daran hab ich auch gedacht, leider steht dieser term als faktor mit x^2 im integral. jetzt muss ich wohl die subs. nach x umstellen oder?
27.06.2013, 21:36	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
DAnn poste doch einfach mal die Aufgabe.....
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27.06.2013, 21:39	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll das integral von x^2 * (lnx)^3 bestimmen...untere grenze ist 1 und OG ist e.
27.06.2013, 22:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution $\begin{eqnarray} u=\ln(x) \end{eqnarray}$ hilft hier definitiv weiter, wenn eine Stammfunktion des ln bekannt ist geht es auch ohne. Versuch es mal mit substitution...
27.06.2013, 22:25	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss u=lnx nach x umstellen um nach der subs. das x^2 mizusubtituieren wie bestimme ich x?
27.06.2013, 22:27	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch $\begin{eqnarray} u= \ln(x) \end{eqnarray}$ , das kann man doch nach x auflösen, also $\begin{eqnarray} x=??? \end{eqnarray}$ Vergiss nicht, dass dx auch zu substituieren und die Integrationsgrenzen anzupassen......
27.06.2013, 22:33	einsteinu	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann das alles hab nur ein prob. damit u=lnx nach x umzustellen, ist x=e^u richtig?
27.06.2013, 22:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, wir haben also nun $\begin{eqnarray} u=\ln (x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=e^u \end{eqnarray}$ Jetzt brauchen wir noch $\begin{eqnarray} dx=???? \end{eqnarray}$
27.06.2013, 22:40	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke. mal ne frage, ich muss danach nochmal subs. oder? wegen der e^u^2?
27.06.2013, 22:45	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast $\begin{eqnarray} (e^u)^2=e^{2u} \end{eqnarray}$ , das sollte eigentlich bekannt sein...... Edit: im übrigen nicht zu verwechseln mit $\begin{eqnarray} e^{(u^2)} \end{eqnarray}$ ......
27.06.2013, 23:05	einsteinholz	Auf diesen Beitrag antworten »
das integral von e^(2x) ist ja (e^(2x))\2 was ist denn die herleitung ? etwa durch subs. von 2x oder?
27.06.2013, 23:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Da braucht es keine Substitution, partielle Integration reicht aus: $\begin{eqnarray} \int e^x \cdot e^x dx= \left[e^x \cdot e^x \right]- \int e^x \cdot e^x dx \end{eqnarray}$ Wir addieren auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} \int e^x \cdot e^x dx \end{eqnarray}$ und erhalten: $\begin{eqnarray} \int e^x \cdot e^x dx+\int e^x \cdot e^x dx=[e^x \cdot e^x] \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} 2 \cdot \int e^x \cdot e^x dx=[e^x \cdot e^x] \end{eqnarray}$ Division durch 2 liefert das gewünschte. Man kann sich aber auch anhand der Ableitungregeln und des Hauptsatzes der Analysis schnell überlegen, dass $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{a} e^{ax} \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(x)=e^{ax} \end{eqnarray}$ ist.

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