Holomorphe Funktion

27.06.2013, 21:50

McClane

Holomorphe Funktion

Hallo,

ich habe folgendes zu beweisen:

Es sei eine holomorphe Funktion f=u+iv gegeben.

Ich soll nun zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} u=h\circ v \end{eqnarray*}$ mit einer differenzierbaren Funktion h:R->R gegeben ist, f konstant ist.

Ich bin mir nicht sicher, wie ich den Beweis angehen soll. Kann mir jemand Hinweise geben? Ich konnte zeigen, dass Imaginärteil und Realteil in diesem Fall gleich sind. Bringt das einen, falls richtig, weiter?

27.06.2013, 22:26

Leopold

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Die partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bezeichne ich durch Tiefstellung. Dann gilt gemäß Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} u_x = \left( h' \circ v \right) \cdot v_x \, , \ \ u_y = \left( h' \circ v \right) \cdot v_y \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph ist, gelten aber auch die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: $\begin{eqnarray*} u_x = v_y \, , \ u_y = -v_x \end{eqnarray*}$

In die zweite Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung setze ich die zweite Beziehung von oben ein:

$\begin{eqnarray*} \left( h' \circ v \right) \cdot v_y = -v_x \end{eqnarray*}$

Jetzt wird die erste Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung verwendet:

$\begin{eqnarray*} \left( h' \circ v \right) \cdot u_x = -v_x \end{eqnarray*}$

und die erste Beziehung von oben eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \left( h' \circ v \right)^2 \cdot v_x = -v_x \end{eqnarray*}$

Leicht umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \left( \left( h' \circ v \right)^2 + 1 \right) \cdot v_x = 0 \end{eqnarray*}$

Beachte, daß wir hier im Reellen sind. Was folgt damit aus der letzten Gleichung? Und wie geht es weiter?

27.06.2013, 22:48

McClane

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Daraus würde folgen, dass entweder $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (h'\circ v)^2+1 \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist. Wenn $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ Null ist würde direkt mit $\begin{eqnarray*} f'=v_y+iv_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -v_x=u_y \end{eqnarray*}$ folgen, dass $\begin{eqnarray*} f'=0 \end{eqnarray*}$ ist. Also konstant.

Was kann ich aber aus $\begin{eqnarray*} (h'\circ v)^2+1=0 \end{eqnarray*}$ folgern?

27.06.2013, 23:49

Leopold

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Zitat:

Original von McClane
Daraus würde folgen, dass entweder $\begin{eqnarray*} v_x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \color{red} (h'\circ v)^2+1 \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist.

Das kann nicht sein. Beachte das Quadrat! Das sind alles reelle Größen.

28.06.2013, 09:14

McClane

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Ah ok. Dazu kann keine reelle Nullstelle gefunden werden. (x^2=-1)

So richtig?

28.06.2013, 10:49

McClane

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Ich habe das ganze mal etwas anders aufgeschrieben und dabei kmmt mir eine Frage auf:

$\begin{eqnarray*} u=h\circ v =h(v) \end{eqnarray*}$

Dann komm ich am Ende auf:

$\begin{eqnarray*} (\frac{\partial^2 h(v)}{\partial y \partial x}+1) \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich da begründen, dass der erste Term nicht Null wird?

28.06.2013, 11:12

McClane

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Ich habe auch $\begin{eqnarray*} u_x=\frac{\partial h(v)}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray*}$ raus

28.06.2013, 20:49

McClane

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Ich komme dabei nicht weiter. Kann jemand helfen?

29.06.2013, 10:11

Leopold

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Ich kann in deiner Symbolik keinen Sinn erkennen. Bloßes Hantieren mit irgendwelchen Differentialen ohne klare Bestimmung, welche Variablen im Spiel und gegebenenfalls voneinander abhängig sind, bedeutet rein gar nichts.

29.06.2013, 10:19

McClane

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} u_x = \left( h' \circ v \right) \cdot v_x \, , \ \ u_y = \left( h' \circ v \right) \cdot v_y \end{eqnarray*}$

Müsste es nicht eigentlich heißen:

$\begin{eqnarray*} u_x=(\frac{\partial h(v)}{\partial x}) \frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Also das h partiell nach x abgeleitet wird?

Wenn ich dann versuche, den gleichen Lösungwegs zu gehen, kommt bei mir raus:

Zitat:

Original von McClane

$\begin{eqnarray*} (\frac{\partial^2 h(v)}{\partial y \partial x}+1) \frac{\partial v}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

29.06.2013, 10:38

Leopold

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RE: Holomorphe Funktion

Zitat:

Original von McClane
mit einer differenzierbaren Funktion h:R->R

29.06.2013, 10:43

McClane

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Ok, stimmt. Das hatte ich übersehen. Danke!!