Koordinaten eines Vektors bestimmen

27.06.2013, 23:04

SemsaSulj

Koordinaten eines Vektors bestimmen

Hallo miteinander!

Ich wollte fragen, ob man fuer einen Vektor bezueglich einer Orthonormalbasis die Koordinaten eindeutig ableiten kann, wenn keine explizite Basis angegen ist?

Also sagen wir mal es ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben und ieine Orthonormalbasis b1,b2,b3. Im Internet habe ich gefunden, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} v_i = <b_i, v> \end{eqnarray*}$

Heisst die Formel, dass in meinem Fall gilt;

$\begin{eqnarray*} v_1 = <b_1, v> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1 = 2 = <b_1, v> = 2b_{11} + 3b_{12} + 2b_{13} \end{eqnarray*}$

Also mit b11 meine ich Basisvektor 1, erster eintrag.

28.06.2013, 01:47

frank09

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RE: Koordinaten eines Vektors bestimmen
Ich setze mal voraus, dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}= 2e_1+3e_2+2e_3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 2 = <b_1, v> = 2b_{11} + 3b_{12} + 2b_{13} \end{eqnarray*}$

Du hast hier die erste Koordinate (=2) bezüglich der Standardbasis zugrunde gelegt.
Also $\begin{eqnarray*} b_1=e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allgemein bedeuten $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ die Anzahl an jeweiligen Basisvektoren um einen Vektor v als Linearkombination derselben darzustellen:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=v_1\overrightarrow{b_1}+v_2\overrightarrow{b_2}+v_3\overrightarrow{b_3} \end{eqnarray*}$

Wenn keine explizite Basis gegeben ist, kann es auch keine eindeutige Darstellung geben, weil diese ja von der Basis abhängt.

28.06.2013, 12:13

SemsaSulj

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RE: Koordinaten eines Vektors bestimmen
Ok.

Also kann ich die Aufgabe nicht eindeutig loesen, oder sind die Koordinaten, dass was du in der ersten Zeile angegeben hast, also 2 / 3 /2

29.06.2013, 00:13

frank09

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RE: Koordinaten eines Vektors bestimmen
Gegeben sind zwei Orthonormalbasen:

Standardbasis $\begin{eqnarray*} S=(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$

Basis $\begin{eqnarray*} B=(b_1,b_2,b_3)=(\begin{pmatrix} 0,447 \\0,894 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -0,717 \\0,359 \\ 0,598 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0,534 \\-0,267 \\ 0,802 \end{pmatrix})<br /> \end{eqnarray*}$

Ein Vektor habe folgende Darstellung bezüglich der Standardbasis:
$\begin{eqnarray*} \vec{v_S}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}= 2e_1+3e_2+2e_3=2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um nun die Darstellung bezüglich Basis B zu ermitteln, berechne $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1=<b_1,v>=0,447\cdot2+0,894\cdot3=3,576 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=<b_2,v>=-0,717\cdot2+0,359\cdot3+0,598\cdot2=0,839 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=<b_3,v>=0,534\cdot2-0,267\cdot3+0,802\cdot2=1,871 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich eine Darstellung bezüglich B

$\begin{eqnarray*} \vec{v_B}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3,576 \\ 0,839 \\ 1,871 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt

$\begin{eqnarray*} |\vec{v_S}|=|\vec{v_B}|=\sqrt{17} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} 2e_1+3e_2+2e_3=v_1b_1+v_2b_2+v_3b_3 \end{eqnarray*}$

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