Homogenes System

28.06.2013, 10:13	RB7	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenes System Hi Leute! Bin auf der Verständnissuche Habe ein homogenes System zu lösen: $\begin{eqnarray} \vec{x}(t) '=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 4 \\ -4 & -2 & -5 \end{pmatrix} <br /> <br /> \vec{x} (0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gut als erstes habe ich die Eigenwerte bestimmt, l1=1, l2=1, l3=-1 Dann einen Eigenvector zur l1 -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und l2 -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Soweit sogt! Da der Eigenwert Vielfachheit 2 hat und keine linear unabhängigen Eigenvectoren besitzt, Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} \vec{x} =e^{t} \begin{pmatrix} at+b \\ ct+d \\ et+f \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ c \\ e \end{pmatrix} =\vec{e1} C1 \end{eqnarray}$ Matrix mit e1 auf Zeilenstufenform gebracht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \| & c1 \\ 0 & 0 & 1 \| & c1 \\ 0 & 0 & 0 \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt soll die Allgeimeine Lösung folgendes sein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c2 \\ -2c2-3c1 \\ c1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wie komm ich auf das? Ich steh grad komplett auf der Leitung… Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Hier der Link zum PDF: http://www.math.tugraz.at/~spruessel/Leh...tel/LoesK1A.pdf Ist die 4. Aufgabe!
28.06.2013, 15:15	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hier $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \| & c1 \\ 0 & 0 & 1 \| & c1 \\ 0 & 0 & 0 \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f=c_1 \end{eqnarray}$ . Jetzt wird $\begin{eqnarray} b=c_2 \end{eqnarray}$ gesetzt. Das ist dann die zweite Konstante, aufgrund der doppelten Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}=1 \end{eqnarray}$ , der allgemeinen Lösung. Dann ist die erste Zeile $\begin{eqnarray} 2c_2 +d+4c_1=c_1 \end{eqnarray}$ . Jetzt muss man nur noch nach d umstellen. Grüße.
29.06.2013, 12:06	RB7	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals Bin gestern dann selbst drauf gekommen! Komplett auf der Leitung gestanden
29.06.2013, 20:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.

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