gewöhnliche Differentialgleichung - Variablensubstitution

28.06.2013, 12:36

Christian_P

gewöhnliche Differentialgleichung - Variablensubstitution

Hallo liebe Mathematiker smile

Zum Ende einer Analysis III Vorlesung haben wir kurz angesprochen, wie man eine Variablensubstitution in einer DGL durchführt. Leider komme ich da nicht wirklich weiter. Es wäre total lieb, wenn mir einer einen Hinweis geben könnte, wie man das macht. Es geht ausdrücklich nicht um das Lösen der Gleichung sondern nur um die Variablensubstitution.

$\begin{eqnarray*} (1-x^2)y''(x)-xy'(x)+n^2y(x)=0 \quad\quad x = \cos{(t)}\qquad n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

OK, also als vorhergehendes Thema hatten wir implizite Funktionen mehrerer Veränderlicher. Vielleicht hat es damit am Rande etwas zu tun?

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann ich ja auf der linken Seite durch $\begin{eqnarray*} \cos{(t)} \end{eqnarray*}$ ersetzen.

$\begin{eqnarray*} (1-\cos^2{(t)})y''(x)-\cos{(t)}y'(x)+n^2y(x)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn das soweit ok ist, hab ich noch eine Funktion $\begin{eqnarray*} y = y(x) \end{eqnarray*}$ und ihre Ableitungen zu verarzten und $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$

Wie muss man hier vorgehen? Die Kettenregel kommt mir in den Sinn. verwirrt

Vielen lieben Danke schon mal

Gruß,
Christian

28.06.2013, 12:48

zyko

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RE: gewöhnliche Differentialgleichung - Variablensubstitution
Durch die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\cos(t) \end{eqnarray*}$ suchst du eine Funktion
$\begin{eqnarray*} z(t)=y(\cos(t)) \end{eqnarray*}$
dazu brauchst du y (s.oben) und die Ableitungen y' und y''.
$\begin{eqnarray*} \dot{z}=\frac{d z}{dt}=y'\cdot \frac{d (cos(t))}{dt}=y'\cdot(-\sin(t)) \end{eqnarray*}$
dann noch entsprechend
$\begin{eqnarray*} \ddot{z}=\frac{d^2 z}{dt^2} = ... \end{eqnarray*}$
berechnen.
Diese Terme nach y' und y'' auflösen und in die DGL einsetzen.
Damit erhältst du eine DGL für z(t).

29.06.2013, 13:32

Christian_P

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Hallo zyko,

Danke sehr!

ich hoffe ich hab das richtig verstanden.

zur Abkürzung vereinfache ich wie du $\begin{eqnarray*} y = y(\cos(t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(t) = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{z}(t) = y' \cdot (-\sin{(t)}) \Leftrightarrow y' = -\frac{\dot{z}(t)}{\sin{(t)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ddot{z}(t) = y'' \cdot (\sin^2{(t)}) - y'\cdot (\cos{(t)}) \Leftrightarrow y'' = \frac{\ddot{z}(t) - \dot{z}(t)\frac{\cos{(t)}}{\sin{(t)}}}{\sin^2{(t)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad (1-\cos^2{(t)}) \left( \frac{\ddot{z}(t) - \dot{z}(t)\frac{\cos{(t)}}{\sin{(t)}}}{\sin^2{(t)}} \right) - \dot{z}(t) \frac{\cos{(t)}}{\sin{(t)}} +n^2 z(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das in Ordnung so? Vielleicht kann man aber noch weiter vereinfachen.

Gruß,
Christian

29.06.2013, 15:50

zyko

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In der letzten Formel ist dir ein Vorzeichenfehler beim Ersetzen des Terms $\begin{eqnarray*} -x\cdot y' \end{eqnarray*}$ unterlaufen:
Richtig:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad (1-\cos^2{(t)}) \left( \frac{\ddot{z}(t) - \dot{z}(t)\frac{\cos{(t)}}{\sin{(t)}}}{\sin^2{(t)}} \right) + \dot{z}(t) \frac{\cos{(t)}}{\sin{(t)}} +n^2 z(t) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad \ddot{z}(t) +n^2 z(t) = 0 \end{eqnarray*}$
Diese neue DGL ist sicherlich lösbar, aber die Rücksubstitution gestaltet sich schwierig.

30.06.2013, 18:24

Christian_P

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Danke!

Ist das unten nur noch ein symbolischer Ausdruck für die DGL?

Viele Grüße,
Christian

01.07.2013, 12:47

zyko

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Zitat:

Original von Christian_P

Ist das unten nur noch ein symbolischer Ausdruck für die DGL?

Das ist die DGL für z(t). Diese DGL solltest du kennen oder dir einprägen. Sie taucht bei allen Schwingungsproblemen auf.
Falls du die Lösung nicht kennst: Probier es mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} z=e^{i \alpha t} \end{eqnarray*}$
Keine Angst vor dem komplexen Ansatz, daraus kann mit geeigneten Randbedingungen eine rein reelle Funktion entstehen.

01.07.2013, 18:17

Christian_P

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hallo,

mir ist gar nicht aufgefallen, dass sich da alles weghebt Hammer

OK, vielen Dank für die Informationen zu der DGL!

Das Thema kommt nächstes Semester etwas ausführlicher in einem extra Kurs.

Gruß,
Christian

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