Schwerpunkt berechnen Achtelkugel

28.06.2013, 14:03

hjo

Schwerpunkt berechnen Achtelkugel

Hallo

Ich sollte den Schwerpkt einer Achtelkugel berechnen, komme aber nicht weiter.
Die Kugel ist mir gegeben als $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2\leq R^2 \end{eqnarray*}$

Ich weiss aus Geometriegründen das Xs = Ys = Zs.

Auch weiss ich das ich die untenstehende Formel verwenden kann.

$\begin{eqnarray*} xs = \frac{1}{V} \int_a^b \!\int_a^b \!\int_a^b \! x\, dV \end{eqnarray*}$

dies lässt sich umschreiben zu
$\begin{eqnarray*} <br /> xs = \frac{1}{\pi /R^3} \int_0^{pi/2} \!\int_0^{pi/2} \!\int_0^ R \! r sin \alpha cos \beta r^2 sin\alpha \,dr d\beta d\alpha \end{eqnarray*}$

Mir ist klar wo her $\begin{eqnarray*} r^2 sin\alpha \end{eqnarray*}$ kommt. (Jacobi) Jedoch weiss ich nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} r sin \alpha cos \beta \end{eqnarray*}$ kommt.

Falls mir das jemand sagen könnte wäre ich sehr dankbar.

(mit Alpha und Beta meine ich einfach die 2 Winkel für die Kugelkoord.)

hjo

28.06.2013, 14:23

Huggy

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel
Was meinst du, was aus dem x unter dem Integral wird?

28.06.2013, 14:34

hjo

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel

Zitat:

Original von Huggy
Was meinst du, was aus dem x unter dem Integral wird?

Ja aber was setze ich ein, ich bin völlig verwirrt... Danke

28.06.2013, 14:39

Huggy

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel
Es gibt doch die Rücktransformation von Kugelkordinaten auf kartesische Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} x= ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = ... \end{eqnarray*}$

Da nimmst du einfach die Gleichung für x her.

28.06.2013, 14:46

hjo

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel
Meinst du

$\begin{eqnarray*} x = r cos \alpha cos \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = r cos \alpha sin \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = r sin \alpha \end{eqnarray*}$

aber wenn ich diese in die Ungleichung einsetze kriegt man doch 2r, nicht?

28.06.2013, 15:00

Huggy

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel
Bei den üblichen Kugelkoordinaten ist

$\begin{eqnarray*} x=r \sin \alpha \cos \beta \end{eqnarray*}$

und das führt genau zu deinem Integranden. Für $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ ergäbe sich auch bei deiner anderen Umrechnung $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ .

28.06.2013, 15:11

hjo

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RE: Schwerpunkt berechnen Achtelkugel

Zitat:

Original von Huggy
Bei den üblichen Kugelkoordinaten ist

$\begin{eqnarray*} x=r \sin \alpha \cos \beta \end{eqnarray*}$

und das führt genau zu deinem Integranden. Für $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ ergäbe sich auch bei deiner anderen Umrechnung $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ .

in meinem Formelbuch stehen die oben erwähnten drin. Darum bin ich nicht drauf gekommen.

Herzlichen Dank

28.06.2013, 15:20

HAL 9000

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Nicht die Schuld auf Bücher schieben, sondern an die eigene Nase fassen
Dann musst du wohl auf dich selbst wütend sein: Den mit deinen Koordinaten

Zitat:

Original von hjo
$\begin{eqnarray*} x = r cos \alpha cos \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = r cos \alpha sin \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = r sin \alpha \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} \dd V = r^2{\color{red}\cos(\alpha)} ~ \dd r ~ \dd \alpha ~ \dd\beta \end{eqnarray*}$ statt des von dir oben verwendeten $\begin{eqnarray*} \dd V = r^2\sin(\alpha) ~ \dd r ~ \dd \alpha ~ \dd\beta \end{eqnarray*}$ .

Was konsequent durchgerechnet auch gehen würde. Augenzwinkern

28.06.2013, 15:46

hjo

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Bin eher froh das ichs endlich gesehen habe

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