Integral bestimmen

28.06.2013, 15:04

Martin12

Integral bestimmen

Ich möchte gerne folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 } } \, dx \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist gegeben: Berechne $\begin{eqnarray*} ln(x+\sqrt{x^{2}+2 }))' \end{eqnarray*}$

Leider bringt mir der Hinweis nicht viel, deshalb habe ich gedacht einfach den Term in der Wurzel zu substituieren, leider bringt mir das danach nur mehr Probleme. Jemand eine Idee wie ich das lösen kann und was der Hinweis zu bedeuten hat?

28.06.2013, 15:16

Huggy

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RE: Integral bestimmen
Der Hinweis bringt dir viel. Berechne doch mal die Ableitung und vereinfache sie!

28.06.2013, 15:18

Martin12

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Mal eine Frage davor, da es eventuell vorkommen könnte. Muss man das so lösen#'? Den ich würde hier als erstes an subs. denken und nicht an etwas wie ln ... . Also anders ausgedrückt ohne dem Hinweis wäre ich nicht in der Lage die Lösung herauszubekommen? Oder ist das wieder so ein spezialfall ?

28.06.2013, 15:39

Huggy

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Das Integral gehört nach einer leichten Umformung zu den elementaren Integralen. Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dx}\sinh^{-1} x = \frac {1}{\sqrt {1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Und es gilt andererseits

$\begin{eqnarray*} \sinh^{-1}x=\ln ( x+\sqrt {1+x^2}) \end{eqnarray*}$

28.06.2013, 15:46

Martin12

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Was hast du den nach dir substituiert genau bei der wurzel? ich weiss das man hier demnach die trig. additiomstheoreme anwenden kann.

28.06.2013, 15:53

Huggy

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Ich habe überhaupt nicht substituiert. Der Arsinh, also die Umkehrfunktion des sinh, gehört zu den elementaren höheren Funktionen. Seine Ableitung wird deshalb üblicherweise als bekannt angesehen. Dementsprechend wird auch das Integral der Ableitung als bekannt angesehen.

28.06.2013, 16:00

Martin12

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RE: Integral bestimmen
Als Hinweis ist gegeben: Berechne $\begin{eqnarray*} ln(x+\sqrt{x^{2}+2 }))' = [latex]\int_0^1 \! \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 } } \, dx \end{eqnarray*}$ oder?

Mich würde jetzt aber eine Herleitung interessieren anstatt das auswendig lernen einer Formel. Also ich würde dafür sicher abzüge bekommen. Es wird sicher erwartet das ich das irgendwie herleite. Oder ?

28.06.2013, 16:01

Martin12

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Sry, ich meine über diesem Post das der linke Term der rechte ist, also ist das Integral bereits als Lösung vorgegeben. Was mich eig. erstaunt.

28.06.2013, 16:07

Huggy

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RE: Integral bestimmen
Vielleicht meinst du ja das Richtige, aber was du hingeschrieben hast, ist Nonsense. Der Ableitungsstrich hinter dem ln-Ausdruck gehört weg. Die Ableitung des ln-Ausdrucks ist nicht das Integral sondern der Integrand des Integrals, also das, was in dem Integral steht.

Was genau möchtest du denn herleiten?

28.06.2013, 16:41

Martin11

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Also hier beweise ich ja im Prinzip nur das die Ableitung der Stammfunktion die Ausgangsfunktion ist. Aber ist es den nicht wichtig das auch umgekehrt zu machen? Nämlich die Stammfunktion mithilfe der Ausgangsfunktion herzuleiten? Ich hoffe du verstehst was ich meine den es gibt zwei Methoden den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Intergrierbarkeit zu zeigen.

1. Die Ableitung bilden der Stammfunktion
2. Das Integral der Ausgangsfunktion bilden.

Hier wird gerade nur Methode 1 verwendet. Reicht das den? Der Übungsleiter hat leider nur diesen Hinweis angegeben. Deshalb bin ich mir etwas unsicher.

Mich würde noch folgendes interessieren:

Ich würde gerne folgendes weiterzusammenfassen. Jetzt muss ich ja beide Terme auf den Hauptnenner bringen. Wie wurde das nochmal gemacht ohne explizite Zahlen im Nenner?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+2 } } +\frac{x}{x\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2 }\sqrt{x^{2}+2 }} \end{eqnarray*}$

Es geht um die Vereinfachung der Ableitung von ln(....) .

28.06.2013, 16:55

Huggy

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Zitat:

Original von Martin11
Also hier beweise ich ja im Prinzip nur das die Ableitung der Stammfunktion die Ausgangsfunktion ist. Aber ist es den nicht wichtig das auch umgekehrt zu machen?

Bei dieser Aufgabe genügt das. Deshalb habt ihr den Tipp bekommen. Bringen wir das so erst mal zu Ende. Über den umgekehrten Weg können wir anschließend sprechen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+2 } } +\frac{x}{x\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2 }\sqrt{x^{2}+2 }} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht die Ableitung des ln-Ausdrucks. Rechne noch mal nach.

28.06.2013, 16:59

guido1

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das hab ich aber auch für

$\begin{eqnarray*} \ln(x+\sqrt{x^2+2})' \end{eqnarray*}$

raus.

und wieso bringst du den arcussinus ins spiel, verstehe ich nicht, weil da doch unter der wurzel was ganz anderes steht

28.06.2013, 17:05

Huggy

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Zitat:

Original von guido1
das hab ich aber auch für

$\begin{eqnarray*} \ln(x+\sqrt{x^2+2})' \end{eqnarray*}$

raus.

Die Ableitung hat die Form

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dx} \ln (f(x)) \end{eqnarray*}$

Was gibt das für beliebiges f(x)?

Zitat:

und wieso bringst du den arcussinus ins spiel, verstehe ich nicht, weil da doch unter der wurzel was ganz anderes steht

Das lassen wir jetzt mal weg. Es war auch nicht der arcsin sondern Arsinh.

28.06.2013, 17:16

guido1

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Zitat:

Original von Huggy

Die Ableitung hat die Form

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dx} \ln (f(x)) \end{eqnarray*}$

Was gibt das für beliebiges f(x)?

kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$

28.06.2013, 17:20

Huggy

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Richtig. Es ist hier

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+\sqrt {x^2+2} \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich für f'(x)?

28.06.2013, 17:21

martin12

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1+ x/wurzel(x^2 +2)

28.06.2013, 17:23

Huggy

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Auch richtig. Was haben wir jetzt insgesamt noch ohne weitere Umformungen?

28.06.2013, 17:28

martin12

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(1/u)*(1+(x/wurzel(x^2+2)), wobei u=x+wurzel(x^2+2). Und zusammengefasst ergibt soweit es richtig sein sollte,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+2 } } +\frac{x}{x\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2 }\sqrt{x^{2}+2 }} \end{eqnarray*}$

28.06.2013, 17:42

Huggy

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Also ich sehe da erst mal

$\begin{eqnarray*} \frac {1+\frac {x}{\sqrt {x^2+2}}}{x+\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

Das würde ich jetzt nicht auseinandereißen, sondern erst mal die 1 im Zähler umschreiben in

$\begin{eqnarray*} 1=\frac {\sqrt {x^2+2}}{\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

Dann den Zähler zu einem Bruch zusamenfassen, den Doppelbruch als Einfachbruch schreiben und diesen schließlich mit

$\begin{eqnarray*} x-\sqrt {x^2+2} \end{eqnarray*}$

erweitern.

Edit: letzer Schritt unnötig. Man gleich kürzen.

28.06.2013, 17:45

martin12

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$\begin{eqnarray*} \frac {1+\frac {x}{\sqrt {x^2+2}}}{x+\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Ich komme nicht auf diesen Term, sondern den von mir genannten.

28.06.2013, 17:50

Huggy

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Das ist doch auch dein Term, nur noch nicht umgeformt. Im Zähler steht f'(x) und im Nenner f(x). Eure nachfolgende Umformung ist auch richtig (das hatte ich zuerst nicht gesehen), aber nicht zielführend.

28.06.2013, 17:53

guido1

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das ist $\begin{eqnarray*} f'(x)/f(x) \end{eqnarray*}$ .

okay, dann kommt raus

$\begin{eqnarray*} \ln(x+\sqrt{x^2+2})'=\frac{1}{\sqrt{x^2+2}} \end{eqnarray*}$

also hat man jetzt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}\, dx=\int_0^1]\ln(x+\sqrt{x^2+2})'\, dx=\ln(1+\sqrt{3})-\ln(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2013, 17:55

Huggy

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Richtig.

28.06.2013, 17:55

martin12

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Zitat:

Original von Huggy
Das ist doch auch dein Term, nur noch nicht umgeformt. Im Zähler steht f'(x) und im Nenner f(x). Eure nachfolgende Umformung ist auch richtig (das hatte ich zuerst nicht gesehen), aber nicht zielführend.

Wie kommst du auf diese Umformung?

28.06.2013, 17:59

Huggy

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Welche Umformung meinst du? Ich habe zunächst mal nur das

Zitat:

Original von martin12
(1/u)*(1+(x/wurzel(x^2+2)), wobei u=x+wurzel(x^2+2)

sauber als Bruch und in Latex hingeschrieben.

28.06.2013, 18:02

martin12

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Kann man das auch irgendwie nach meiner zusammenfassung zusammenfassen? Bin jetzt etwas verwirrt wegen dir deshalb. Anscheinend ist die von mir genannte rechnung ja nicht ganz falsch sondern noch nicht komplett zusammengfefasst.

28.06.2013, 18:09

Huggy

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Du hast das in 2 Brüche auseinandergezogen. Die müsste man wieder zusammenfassen. Dann ist man aber wieder da, wo man angefangen hat.

Sind wir uns denn jetzt einig, dass

(1/u)*(1+(x/wurzel(x^2+2)), wobei u=x+wurzel(x^2+2) = $\begin{eqnarray*} \frac {1+\frac {x}{\sqrt {x^2+2}}}{x+\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

28.06.2013, 18:14

martin12

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Können wir das auch bitte als getrennte Faktoren wie ich es geschrieben habe zusammenfassen? Das würde mir wirklich viel helfen.

28.06.2013, 18:23

Huggy

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Was meinst du? Schreib es mal hin, aber möglichst in Latex.

Vorher aber beantworte diese Frage:

Sind wir uns denn jetzt einig, dass

(1/u)*(1+(x/wurzel(x^2+2)), wobei u=x+wurzel(x^2+2) = $\begin{eqnarray*} \frac {1+\frac {x}{\sqrt {x^2+2}}}{x+\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

oder nicht?

Sonst reden wir dauernd aneinander vorbei.

28.06.2013, 18:34

martin12

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Ja selbstverständlich sind wir uns einig, den es ist ja einfach nur der Kehrwert. Aber ich würde das gerne als Multiplikation von je zwei Fakotren berechnen. Demnach folgt bei mir

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+2 } } +\frac{x}{x\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2 }\sqrt{x^{2}+2 }} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich das irgendwie auf dasselbe Ergebnis bringen. Das Problem ist, das ich es gerne wie gesagt als Multiplikation schreiben will und nich als Bruch dargestellt wie du es schreibst. Das bereitet mir verwirrungen und ich würde ebend nicht immer daran denken können.

28.06.2013, 18:50

Huggy

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Es soll ja zum Schluss

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt {x^2+2}} \end{eqnarray*}$

herauskommen. Und das ist nun mal ein Bruch. Wenn du $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Brüche da stehen hast, musst du die zu einem Bruch zusammenfassen. Dann sollte sich alles zu obigem Ergebnis zusammenkürzen. Tut es ja auch. Wenn du deine beiden Brüche wieder zu einem Bruch zusammenfasst, ist das der ursprüngliche Bruch, auch wenn er vielleicht nicht so aussieht. Also kannst du auch gleich bei dem ursprünglichen Bruch bleiben.

Wenn du die beiden Brüche aber partout nicht zu einem Bruch zusammenfassen willst, dann steckst du in einer Sackgasse. Da kann ich dir auch nicht weiterhelfen.

Bin jetzt erst mal weg.

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