Extrema/Sattelpunkte im Mehrdimensionalen

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Chabos Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema/Sattelpunkte im Mehrdimensionalen
Hallo, ich habe folgende Funktion gegeben:

Diese Funktion soll ich auf Extrema/ Sattelpunkte untersuchen.
Als erstes bilde ich den Gradienten, dieser Gradient soll 0 sein, ich erhalte dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen:
(I)
(II)

Meine Schwierigkeit ist es, dieses System zu lösen: Habe bis jetzt die Lösungen
und
raus.

Wenn ich dann die Hessematrix aufstelle und die Eigenwerte berechne, komme ich zum Schluss, dass an beiden Punkten lokale Maxima vorliegen. Dazwischen müssen dann ja Wendepunte und Minima liegen, leider schaffe ich es nicht, die verdächtigen Punkte zu berechnen. Kann mir dort jemand helfen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Frage vorweg: Fehlt in der Funktion ein Minus vor der ersten Klammer? Ansonsten wären deine partiellen Ableitungen nämlich falsch.
Chabos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, das minus fehlt tatsächlich. Tut mir Leid!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde Dir empfehlen in beiden Gleichungen auszuklammern und dann Fallunterscheidungen zu treffen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe gibt es 9 kritische Punkte.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du dich tatsächlich verrechnet.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was ein Vorzeichenfehler doch bewirken kann. Es gibt also nur drei kritische Punkte, wenn keine weiteren Einwände kommen.
 
 
Chabos Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir bei der Fallunterscheidung helfen? Was genau macht man da denn eigentlich?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema/Sattelpunkte im Mehrdimensionalen
Klammere in der erste Gleichung x aus und in der zweiten y. Wann kann die erste Null werden, wann die zweite?
Diese beiden Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, woraus sich die möglichen Fälle ergeben.
Chabos Auf diesen Beitrag antworten »

(I)
(II)

Dann teile ich die obere Gleichung durch 2x, die untere durch 2y und löse das übriggebliebene Gleichungssystem. Komme dann aber nur auf die beiden Lösungen, die ich schon habe. Und x = y = 0 hilft hier glaube ich wenig weiter. :/
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum hilft das nicht weiter? Ist das keine Lösung des Gleichungsystems?

Teilen darfst Du nur, solange der Term, durch den Du teilst, nicht Null ist, also sind Deine gewonnenen Ergebnisse nur für x und y ungleich Null gültig. Es ist daher unpraktisch zu teilen.
Chabos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

entschuldige, dass ich mich jetzt erst melde. Okay, dann multipliziere ich die beiden Gleichungen wieder aus und habe dann als dritte Lösung x = y = 0.

Die Hessematrix am Punkt P(0/0) ergibt sich dann zu


Die Eigenwerte dieser Matrix sind +2 und -2, die Matrix ist indefinit, es liegt ein Sattelpunkt vor. Haut das so hin?
Chabos Auf diesen Beitrag antworten »

Mag jemand helfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt; was du da ausmultiplizieren wolltest, weiß ich nicht...
Michithemaster Auf diesen Beitrag antworten »
re
Nein, du hast eine Matrix jetzt aber keine Eigenwerte. Um diese zu berechnen benutze bitte die formel in deinem Skript für Eigenwerte det(Hf-E*(lamda))=0 und bewerte dann die Eigenwerte.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: re
Zitat:
Original von Michithemaster
Nein, du hast eine Matrix jetzt aber keine Eigenwerte. Um diese zu berechnen benutze bitte die formel in deinem Skript für Eigenwerte det(Hf-E*(lamda))=0 und bewerte dann die Eigenwerte.


Dir ist schon klar, dass der Thread und der letzte Post 2 Jahre alt sind?
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