Potenzreihen

28.06.2013, 16:46

voodoo

Potenzreihen

Hallo

ich hab eine Potenzreihe, die den Konvergenzradius 1 hat, und auf (-1,1) konvergiert.
Ich soll nun diese Potenzreihe in eine rationale Funktion f umwandeln ( f: (-1,1) -> R)
Wie mach ich denn das... Gegeben ist diese Potenzreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} d_n = \left\{ \begin{matrix} 6(-1)^n \,\text{Bei n mod 5 = 1} \\ 0 \, \text{sonst}\end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$

ich hätte jetzt als erstes den Indexverschoben...
aber man kann sich natürlich auch überlegen, dass man irgendwie die summe so verschiebt, dass man den fall, dass die 0 in d_n eintritt rausnimmt...
Wie geht man da ran??

28.06.2013, 17:33

Nubler

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RE: potenzreihen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_n = \left\{ \begin{matrix} 6(-1)^n \,\text{Bei n mod 5 = 1} \\ 0 \, \text{sonst}\end{matrix} \right. \end{eqnarray*}$

hier kannst du eine 0 einfügen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n=-\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n\right) \end{eqnarray*}$

die erste klammer kannste direkt ausrechnen.

die zweite und dritte summe kannst du zusammenfassen zu:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} d_n (x+1)^n\right) \end{eqnarray*}$

nun zu den $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$
die sind nur ungleich 0 für n=1 n=6 n=11 n=16...
oder kurz: n=5k+1 mit $\begin{eqnarray*} k\geq0 \end{eqnarray*}$ wei alles andre zu 0 wird.

die 6 is ne konstante unabhängig von n und kannste vor die summe ziehen:

damit wird der zweite teil der summe zu:
$\begin{eqnarray*} 6\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{5n+1} (x+1)^{5n+1}\right) \end{eqnarray*}$

etz kannste des noch weiter vereinfachen durch ausklammern:
$\begin{eqnarray*} 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{5n} (x+1)^{5n}\right) \end{eqnarray*}$

das in der summe lässt sich noch weiter mit den potenzgesetzen umschreiben:
$\begin{eqnarray*} -1^{5n}=-1^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+1)^{5n}=\left((x+1)^5\right)^n \end{eqnarray*}$

wenn du des einsetzt, solltest du einen ausdruck erhalten, der dir bekannt vorkommt.

28.06.2013, 18:17

voodoo

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RE: potenzreihen

Zitat:

Original von Nubler
hier kannst du eine 0 einfügen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n=-\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n\right) \end{eqnarray*}$

die erste klammer kannste direkt ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} -\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right) \end{eqnarray*}$
Das ist doch nur definiert, für n = 1,6,11 und 16, also:
$\begin{eqnarray*} -(6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}) \end{eqnarray*}$
kann man das noch weiter zusammenfassen?

Zitat:

Original von Nubler
$\begin{eqnarray*} 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{5n} (x+1)^{5n}\right) \end{eqnarray*}$

das in der summe lässt sich noch weiter mit den potenzgesetzen umschreiben:
$\begin{eqnarray*} -1^{5n}=-1^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+1)^{5n}=\left((x+1)^5\right)^n \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{5n} (x+1)^{5n}\right) \\\\= 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n ((x+1)^5)^n\right) \\\\ = 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{n=0}^{\infty}((x+1)^5)^n\right) \end{eqnarray*}$

dann hab ich doch auch wieder eine Potenzreihe oder?
wie rechne ich die denn aus??

29.06.2013, 17:08

Nubler

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RE: potenzreihen

Zitat:

Original von voodoo
kann man das noch weiter zusammenfassen?

liese sich klar noch umschreiben, was soll des aber groß bringen?

Zitat:

Original von voodoo
6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{n=0}^{\infty}((x+1)^5)^n\right)[/latex]

wo kommt die zweite summe her?

29.06.2013, 20:29

voodoo

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RE: potenzreihen

Zitat:

Original von Nubler
wo kommt die zweite summe her?

oh ja ups das zweite ist quatsch was ich da gemacht hab...
$\begin{eqnarray*} 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{5n} (x+1)^{5n}\right) \\\\= 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n ((x+1)^5)^n\right) \end{eqnarray*}$
so muss das sein aber wie weiter???

Edit:
also ich hab mal gegoogelt und das hier gefunden:
1. Gliedweises Ableiten der Potenzreihe
2. Eventuelle Indexverschiebung
3. Anwendung bekannter Reihe (z.B. geometrische Reihe)
4. Ist das Summenzeichen verschwunden, leitet man die Ableitung wieder auf und bekommt so die gewünschte Darstellung

wenn ich nur die reihe ableite kommt doch raus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(5 (-1)^n n ((x+1)^5)^n)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$
das ist (zu meiner schande laut wolfram alpha):
$\begin{eqnarray*} - \frac{5(x+1)^4}{(x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+2)^2} \end{eqnarray*}$
das wieder aufleiten:
$\begin{eqnarray*} \int - \frac{5(x+1)^4}{(x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+2)^2} dx = - \frac{1}{(x+1)^5 +1} \end{eqnarray*}$

dann erhalte ich doch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n=-\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n\right) \\\\ = -(6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}) + 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n ((x+1)^5)^n\right) \\\\ = -(6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}) + 6(-1(x+1))(- \frac{1}{(x+1)^5 +1}) \end{eqnarray*}$

vom gefühl her... falsch traurig

29.06.2013, 21:22

Nubler

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RE: potenzreihen
$\begin{eqnarray*} (-1)^n ((x+1)^5)^n \end{eqnarray*}$

das lässt sich noch weiter zusammenfassen
stichwort: potenzgesetze

29.06.2013, 21:50

voodoo

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kann ich das machen:
$\begin{eqnarray*} (-1)^n ((x+1)^5)^n = ((x+1)^5(-1))^n = (-(x+1)^5)^n \end{eqnarray*}$

29.06.2013, 23:10

Nubler

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richtig, wobei du des - sogar in die innere klammer ziehen könntest

das in klammern hängt nicht vom laufparameter ab.

also kannst du das einfach umbenennen in z.b. q

was fällt dir auf, wenn du des in die reihe einsetzt??

29.06.2013, 23:28

voodoo

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ok also erstmal:
$\begin{eqnarray*} (-(x+1)^5)^n = -(x+1)^{5n} \end{eqnarray*}$

dann x+1 durch q ersetzen:
$\begin{eqnarray*} q = x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(q)^{5n} \end{eqnarray*}$

dann in die reihe einsetzten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty -(q)^{5n} \end{eqnarray*}$

ist die geometrische reihe oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

dann ist das:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty -(q)^{5n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

oder?

EDIT:
nee
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty -(q)^{5n} = \frac{1}{1-q^5} \end{eqnarray*}$
oder?

29.06.2013, 23:59

voodoo

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ich habs:

(glaube ich)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n=-\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=0}^{18} d_n (x+1)^n\right)+\left(\sum\limits_{n=19}^\infty d_n (x+1)^n\right) \\\\ = -\left[6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}\right]+\left(\sum\limits_{n=0}^\infty d_n (x+1)^n\right) \end{eqnarray*}$

dann die summe angucken:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty d_n (x+1)^n = 6(-1(x+1))\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n ((x+1)^5)^n\right) \end{eqnarray*}$

dann in der summe verinfachen:
$\begin{eqnarray*} (-1)^n ((x+1)^5)^n = (-(x+1)^5)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = -(x+1)^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} = \frac{1}{1- (-(x+1)^5)} = \frac{1}{1+(x+1)^5} \end{eqnarray*}$

und dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} -\left[6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}\right]+\left(\sum\limits_{n=0}^\infty d_n (x+1)^n\right) \\\\= -\left[6(x+1)^1+6(x+1)^6+6(x+1)^{11}+6(x+1)^{16}\right]+6(-1(x+1)) \frac{1}{1+(x+1)^5} \end{eqnarray*}$
soooo
kann man sicher noch vereinfachen, aber das sollte es doch jetzt gewesen sein Tanzen

30.06.2013, 00:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von voodoo
kann man sicher noch vereinfachen

Ja, kann man: Die zu "Nichtnull-Summanden" gehörenden $\begin{eqnarray*} n\geq 19 \end{eqnarray*}$ kann man parametrisieren durch $\begin{eqnarray*} n = 5k+21 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ , so dass gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=19}^{\infty} d_n (x+1)^n &=& \sum\limits_{k=0}^{\infty} 6(-1)^{5k+21} (x+1)^{5k+21} = -6(x+1)^{21} \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (x+1)^{5k}\\ &=& -6(x+1)^{21} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(-(x+1)^5\right)^k = -\frac{6(x+1)^{21}}{1+(x+1)^5} \end{eqnarray*}$

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