Optimierungsmodell aufstellen

28.06.2013, 19:11

sunnyville

Optimierungsmodell aufstellen

Ich habe 90.000 qm Land zur Verfügung. Darauf können folgende Gebäude gebaut werden:

Büro (DB: 20, benötigte Fläche: 800) x1
Wohnhaus (DB: 24, benötigte Fläche: 1000) x2
Schule (DB: 30, benötigte Fläche: 1200) x3

a) DB maximieren und 30% müssen Wohnhäuser sein
max F(x) = 20x1+24x2+30x3
u.d.N. 8x1 + 10x2 + 12 x3 $\begin{eqnarray*} \leq 900 \end{eqnarray*}$
x1+0,3x2+x3 $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$
x1,x2,x3 $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$
b) Wenn Büros gebaut werden, dann müssen davon mindestens 15 gebaut werden.
Reicht es hier, die Bedingung x1 $\begin{eqnarray*} \geq 15 \end{eqnarray*}$ einzuführen?
Kann mir jemand sagen, ob diese Lösung Sinn macht?

28.06.2013, 19:26

Math1986

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RE: Optimierungsmodell aufstellen
Was genau ist DB?

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} \max F(x) = 20x_1+24x_2+30x_3 \end{eqnarray*}$
ist richtig.

Die Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} 8x_1 + 10x_2 + 12 x_3 \leq 900 \end{eqnarray*}$
für die Fläche ist auch richtig.

Ebenso die Ganzzahligkeitsbedingung
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist noch, ob wir hier ein ganzzahliges Optimierungsproblem haben, da es schlecht machbar ist, "halbe Büros" zu bauen, oder ob das Problem erstmal mit reellen Zahlen gelöst werden soll?

Wie ist das mit den "30%" zu verstehen? 30% der Gesamtfläche oder 30% der Gebäude?

b) ist nach der Aufgabenstellung falsch, da insbesondere $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ zulässig wäre.

28.06.2013, 19:45

sunnyville

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RE: Optimierungsmodell aufstellen

Zitat:

Original von Math1986
Was genau ist DB?

Die Funktion
$\begin{eqnarray*} \max F(x) = 20x_1+24x_2+30x_3 \end{eqnarray*}$
ist richtig.

Die Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} 8x_1 + 10x_2 + 12 x_3 \leq 900 \end{eqnarray*}$
für die Fläche ist auch richtig.

Ebenso die Ganzzahligkeitsbedingung
$\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist noch, ob wir hier ein ganzzahliges Optimierungsproblem haben, da es schlecht machbar ist, "halbe Büros" zu bauen, oder ob das Problem erstmal mit reellen Zahlen gelöst werden soll?

Wie ist das mit den "30%" zu verstehen? 30% der Gesamtfläche oder 30% der Gebäude?

b) ist nach der Aufgabenstellung falsch, da insbesondere $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ zulässig wäre.

DB ist der Deckungsbeitrag.
Mit 30% sind 30% der Gebäude gemeint.
Es soll ein lineares gemischt-ganzzahliges Modell sein.

Bei b) weiß ich nicht, wie ich diese "oder" Bedingung reinbringen soll. Es sollen entweder 0 sein oder wenn überhaupt welche gebaut werden, dann 30 oder mehr.

28.06.2013, 21:43

Math1986

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RE: Optimierungsmodell aufstellen
Dass 30% davon Wohnhäuser seien müssen, heißt doch:
$\begin{eqnarray*} x_2\geq 0,3\cdot \left(x_1+x_2+x_3\right) \end{eqnarray*}$
Nun eben umstellen und ausrechnen

PS: Ich gehe mal davon aus, dass mindestens 30% gemeint sind, sonst ist eben das $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ entsprechend anzupassen.

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