n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

29.06.2013, 15:03

klapka17

n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Hallo zusammen,

sitze zurzeit an folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} f: U -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Man zeige, dass es $\begin{eqnarray*} n - 1 \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_{n-1} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v_i}(a) = 0 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} i = 1,..., n - 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diffbar in $\begin{eqnarray*} a \in U \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$

=> alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ partiellen Ableitungen existieren.
=> der Gradient existiert

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} grad f(a) \end{eqnarray*}$ senkrecht zu den Niveaulinien (Niveauflächen) stetht. Betrachtet man nun den 1. Vektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ der in Richtung einer Niveaulinie verläuft, so ergibt sich das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <grad f(a), v_1> = 0 \end{eqnarray*}$ .
Der 2. Vektor $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ , der auch in Richtung einer anderen Niveaulinie verläuft muss jetzt aber senkrecht zum $\begin{eqnarray*} grad f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ stehen.

=> Insegesamt gibt es also $\begin{eqnarray*} n - 1 \end{eqnarray*}$ Vektoren die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} grad f(a) \end{eqnarray*}$ stehen und somit $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f }{\partial v_i} (a) = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall i = {1,...,n - 1} \end{eqnarray*}$

Jetzt glaub ich aber nicht, dass das als Beweis ausreicht und wollte fragen, ob das überhaupt so klappt und falls ja, wie man das formal aufschreiben kann. Also im Prinzip fehlt mir ja der Beweis, dass es im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^ n \end{eqnarray*}$ n Vektoren gibt die senkrecht aufeinander stehen.

Vielen Dank schoneinmal im voraus!

29.06.2013, 21:42

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Von Niveaulinien braucht man hier eigentlich nicht zu sprechen.
Zentral ist, dass die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ genau dann Null ist, wenn $\begin{eqnarray*} \langle\operatorname{grad}f(a),v\rangle=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Dürft ihr also benutzen, dass die Menge der Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , die zu einem gegebenen Vektor orthogonal sind, mindestens $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -dimensional ist?

(überleg dir auch, wieso ich "mindestens" geschrieben habe!)

29.06.2013, 22:22

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
weiß leider nicht ganz worauf Du mich mit dem "mindestens" hinweisen möchtest. Das einzigste was mir einfällt ist, dass wir in einem n-dimensionalen VR eine Basis gibt mit n linear unabhängigen Vektoren gibt. Diese müssten dann ja eigentlich auch alle orthogonal zu einander stehen!?

was genau beschreibt die Menge S^(n-1)?

29.06.2013, 22:44

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von klapka17
weiß leider nicht ganz worauf Du mich mit dem "mindestens" hinweisen möchtest.

Es ist auch möglich, dass der Unterraum derjenigen Vektoren, die senkrecht auf einen gegebenen Vektor stehen, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional und nicht nur $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -dimensional ist.

Zitat:

was genau beschreibt die Menge S^(n-1)?

Das sind die Einheitsvektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n-1}:=\{x\in\mathbb R^n:\lVert x\rVert=1\}\,. \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 09:13

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von Che Netzer

Dürft ihr also benutzen, dass die Menge der Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , die zu einem gegebenen Vektor orthogonal sind, mindestens $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ -dimensional ist?

Da es n Einheitsvektoren, die zueinander orthogonal sind, würde ich jetzt sagen ja. oder?

Hab bei der Aufgabe irgendwie leider immer noch nich den Durchblick unglücklich

30.06.2013, 09:28

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Da ist vielleicht etwas aus der linearen Algebra bekannt. Sagt dir "orthogonales Komplement" etwas? Oder etwas in der Art?

Grundsätzlich ist dir aber klar, was in der Aufgabenstellung verlangt ist, oder?
Scheitert es dann daran, die Idee zur Lösung zu verstehen? Oder erst an der Umsetzung?

30.06.2013, 09:46

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von Che Netzer
Da ist vielleicht etwas aus der linearen Algebra bekannt. Sagt dir "orthogonales Komplement" etwas? Oder etwas in der Art?

hab mir gerade die Defintion von Wikipedia angeschaut: Also im Prinzip beschreibt es die Menge an Vektoren eines VR, die zu einer den Vektoren einer Untermenge U alle orthogonal sind.

Kann man hier auch die Dimesionsformal anwenden? Also $\begin{eqnarray*} dim V = dim U + dim U^\perp \end{eqnarray*}$

Das wäre jetzt in diesem Zusammenhang meine nächste Idee und dann ja eigentlich auch schon fast trivial oder? Wir können ja einfach sagen $\begin{eqnarray*} grad f(x) \in U \end{eqnarray*}$ und dann würde das ja schon fast folgen!?

Zitat:

Grundsätzlich ist dir aber klar, was in der Aufgabenstellung verlangt ist, oder?
Scheitert es dann daran, die Idee zur Lösung zu verstehen? Oder erst an der Umsetzung?

Also eigentlich würde ich sagen, dass die Aufgabenstellung mir schon klar ist. Die Idee zur Lösung verstehe ich leider nicht.

30.06.2013, 09:58

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von klapka17
Das wäre jetzt in diesem Zusammenhang meine nächste Idee und dann ja eigentlich auch schon fast trivial oder? Wir können ja einfach sagen $\begin{eqnarray*} grad f(x) \in U \end{eqnarray*}$ und dann würde das ja schon fast folgen!?

In diesem Fall wäre $\begin{eqnarray*} U:=\operatorname{span}\{\operatorname{grad}f(x)\} \end{eqnarray*}$ die richtige Wahl.

Zitat:

Also eigentlich würde ich sagen, dass die Aufgabenstellung mir schon klar ist. Die Idee zur Lösung verstehe ich leider nicht.

Den Wert einer Richtungsableitung in Richtung (des Einheitsvektors) $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ erhalten wir als das Skalarprodukt des Gradienten $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}f(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .
Diese Richtungsableitung ist also genau dann Null, wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}f(x) \end{eqnarray*}$ ist.
Wir brauchen also $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren, die senkrecht zum Gradienten sind.

30.06.2013, 10:10

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Alles klar,

dann probier ich es noch einmal.

Sei $\begin{eqnarray*} U := span ({grad f(x)}) mit ~ U\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} dim U = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Außerdem wissen wir, dank des Orthogonalen Komplement, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n = U \oplus U^\perp \end{eqnarray*}$ .

Und somit wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} dim U = n-1 \end{eqnarray*}$ und es somitgibt es n -1 linear unabhängige Vektoren die im Orthogonalen Komplement von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind und somit auch senkrecht zum $\begin{eqnarray*} grad f(x) \end{eqnarray*}$ sind.

Daraus folgt jetzt nun, dass wenn wir uns die $\begin{eqnarray*} n - 1 \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \in U^\perp \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i =1,...,n-1 \end{eqnarray*}$ anschauen, die linear unabhängig sind, so gilt $\begin{eqnarray*} \forall v_i : <grad~f(x),v_i> = 0 => \frac {\partial f} {\partial v_i} (x) = 0 \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 10:14

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von klapka17
Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} dim U = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Nein, nur $\begin{eqnarray*} \dim U\leq1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und somit wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} dim U = n-1 \end{eqnarray*}$

Da lief etwas schief.

Wenn ihr das orhogonale Komplement aber nicht kennt, sollt ihr es wohl auch nicht benutzen.
Wahrscheinlich darfst du einfach voraussetzen, dass es entsprechend viele Vektoren gibt.
Bzw. dass du jeden von Null verschiedenen Vektor zu einer Orthogonalbasis fortzsetzen kannst (?)

30.06.2013, 10:27

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Also in LA II müssten wir das eigentlich gehabt haben.

müsste das dann $\begin{eqnarray*} dim~U \geq n - 1 \end{eqnarray*}$ sein?

30.06.2013, 10:31

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben

Zitat:

Original von klapka17
Also in LA II müssten wir das eigentlich gehabt haben.

Habt ihr das oder habt ihr das nicht?

Zitat:

müsste das dann $\begin{eqnarray*} dim~U \geq n - 1 \end{eqnarray*}$ sein?

Obwohl $\begin{eqnarray*} \dim U\leq1 \end{eqnarray*}$ gilt?

30.06.2013, 10:40

klapka17

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Oh, verdammt sorry:

(1) ja wir hatten das schon. gerade nachgeschaut.

(2) hier meinte ich natürlich: $\begin{eqnarray*} dim U^\perp = n - 1 \end{eqnarray*}$ oder muss man hier sagen: $\begin{eqnarray*} dim U^\perp \geq n - 1 \end{eqnarray*}$ ?

sorry, ... hab die ganze Zeit an das Orthogonale Komplement geadacht, aber nciht hingeschrieben unglücklich

30.06.2013, 10:46

Che Netzer

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RE: n-1 Richtungsableitungen im R^n die Null ergeben
Du kannst nur $\begin{eqnarray*} \dim U^\perp\geq n-1 \end{eqnarray*}$ folgern, solange du $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}f(a)=0 \end{eqnarray*}$ nicht ausschließen kannst.

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