nochmals Variablensubstitution Part. DGL

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29.06.2013, 15:10	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
nochmals Variablensubstitution Part. DGL Sei folgende part. DGL gegeben: $\begin{eqnarray} x\frac{\partial z}{\partial y} - y\frac{\partial z}{\partial x}=0 \end{eqnarray}$ Die Variablensubstitution lautet: $\begin{eqnarray} x = r\cos{(\phi)} \quad y = r\sin{(\phi)} \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} z = z(x,y) \end{eqnarray}$ meine Idee ich muss herausfinden was $\begin{eqnarray} \frac{\partial z}{\partial y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray}$ ist, um es in die Gleichung oben einzusetzten. Ich schätze mal: $\begin{eqnarray} \frac{\partial z}{\partial y} = y' = \operatorname{grad}y = \operatorname{grad}y(r,\phi) = \operatorname{grad}( r\sin{(\phi)} ) \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} z'(x,y) = z'(x(r,\phi), y(r,\phi)) \end{eqnarray}$ wäre ja schon die Jacobimatrix $\begin{eqnarray} J_z(x,y) \end{eqnarray}$ und das wäre ja schon zu viel erhalte ich am ende zwei Gleichung als neue DGL? Viele lieben Dank für die Hilfe schon mal! Gruß, Christian
29.06.2013, 16:06	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nochmals Variablensubstitution Part. DGL Ich schreibe im Folgenden für die Ableitungen die Indexnotation $\begin{eqnarray} z_x:=\frac{d z}{d x} \end{eqnarray}$ Substituiert wird $\begin{eqnarray} u(r, \phi)=z(x,y) \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} u_r=z_x\cdot x_r + z_y \cdot y_r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_{\phi}=z_x\cdot x_{\phi} + z_y \cdot y_{\phi} \end{eqnarray}$ Aus diesen beiden Gleichungen können $\begin{eqnarray} z_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_y \end{eqnarray}$ durch Ausdrücke mit $\begin{eqnarray} u_r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_{\phi} \end{eqnarray}$ formuliert werden. Nach dem Einsetzen in die ursprüngliche DGL für z(x,y) erhält man eine DGL für $\begin{eqnarray} u(r,\phi) \end{eqnarray}$
30.06.2013, 18:16	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nochmals Variablensubstitution Part. DGL Hallo Zyko, herzlichen Dank! ich habe das Gleichungssystem in den Unbekannten $\begin{eqnarray} z_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_y \end{eqnarray}$ gelöst. $\begin{eqnarray} z_x = u_r \cos{(\phi)} - \frac{u_{\phi} \sin{(\phi)}}{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_y = u_r \sin{(\phi)} + \frac{u_{\phi} \cos{(\phi)}}{r} \end{eqnarray}$ an sich eine schöne, symmetrische Lösung, also wird's wohl richtig sein alles in $\begin{eqnarray} xz_y-yz_x=0 \end{eqnarray}$ eingesetzt ergab dann nur noch $\begin{eqnarray} u_{\phi}=0 \end{eqnarray}$ durch viele Vereinfachungen. Kann das sein? Vielen Dank nochmals für die Hilfe! Gruß, Christian
30.06.2013, 22:28	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hätte nochmal eine zusätzliche Frage. In einer Folgeaufgabe brauche ich $\begin{eqnarray} z_{xx} = \frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ Kann ich da einfach von meinem Ergebnis $\begin{eqnarray} z_{x} = u_r \cos{(\phi)}-\frac{u_{\phi}\sin{(\phi)} }{r} \end{eqnarray}$ ausgehen? oder muss ich das Gleichungssystem lösen? $\begin{eqnarray} z_{xx}x_r x_r + z_{xy} y_r x_r + z_{yx} x_r y_r + z_{yy} y_r y_r = u_{rr} -(z_x x_{rr}+z_y y_{rr} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{xx} x_{\phi}x_r + z_{xy} y_{\phi} x_r + z_{yx} x_{\phi} y_r + z_{yy} y_{\phi} y_r = u_{r \phi} -(z_x x_{r \phi}+z_y y_{r \phi} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{xx} x_{r}x_{\phi} + z_{xy} y_{r} x_{\phi} + z_{yx} x_{r} y_{\phi} + z_{yy} y_{r} y_{\phi} = u_{\phi r} -(z_x x_{\phi r}+z_y y_{\phi r} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{xx} x_{\phi}x_{\phi} + z_{xy} y_{\phi} x_{\phi} + z_{yx} x_{\phi} y_{\phi} + z_{yy} y_{\phi} y_{\phi} = u_{\phi \phi} -(z_x x_{\phi \phi}+z_y y_{\phi \phi} ) \end{eqnarray}$ Gruß, Christian
01.07.2013, 12:41	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} u_{\phi}=0 \end{eqnarray}$ ist richtig. Das bedeutet die Lösung hängt nur vom Radius r ab. Dein Gleichungssystem kann ich nicht nachvollziehen. Es gilt $\begin{eqnarray} z_{x}%20=%20u_r%20\cos{(\phi)}-\frac{u_{\phi}\sin{(\phi)}%20%20}{r}<br /> \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} z_{xx}%20=\left(%20u_r%20\cos{(\phi)}-\frac{u_{\phi}\sin{(\phi)}%20%20}{r}\right)_r r_x + \left(%20u_r%20\cos{(\phi)}-\frac{u_{\phi}\sin{(\phi)}%20%20}{r}\right)_{\phi} {\phi}_x \end{eqnarray}$ Es ist dazu nicht nötig ein Gleichungssystem zu lösen.
01.07.2013, 18:21	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, das LGS war eine Idee, weil der vorherige Schritt genauso gemacht wurde. aber wenn's auch einfacher geht... achso, die formale Anwendung der Kettenregel auf $\begin{eqnarray} z_x \end{eqnarray}$ führt zu der rechten Seite. Wenn ich's richtig verstehe sind $\begin{eqnarray} r_x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x=r\cos{(\phi)} \end{eqnarray}$ bestimmt. Diese Gleichung kann ich ja nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ auflösen. Viele Grüße, Christian
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02.07.2013, 11:34	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi=arctan \left(\frac{y}{x}\right) \end{eqnarray}$ Damit können deren partiellen Ableitungen nach x und y ermittelt werden.
02.07.2013, 19:57	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke, daran hab ich nicht gedacht. ich hab noch einen anderen Aufgabenteil, indem eine Funktion $\begin{eqnarray} z=z(x,y) \end{eqnarray}$ implizit durch einen Ausdruck $\begin{eqnarray} F(x,y,z)=0 \end{eqnarray}$ gegeben ist. gesucht sind die partiellen Ableitungen von z. nun weiß ich, dass $\begin{eqnarray} z_x = -\frac{F_x}{F_z} \end{eqnarray}$ ist. es sind aber noch Ableitungen 2. Ordnung gesucht Nun dachte ich: wende ich einfach die allgemeine Kettenregel und Quotientenregel auf die Gleichung an. $\begin{eqnarray} z_{xx} = -\frac{F_z ( F_{xx} \cdot x_x + F_{xy} \cdot y_x + F_{xz} \cdot z_x ) - F_x ( F_{zx} \cdot x_x + F_{zy} \cdot y_x + F_{zz} \cdot z_x )}{F_z^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_x = -\frac{F_x}{F_z} \end{eqnarray}$ wenn das überhaupt Sinn macht, meine Frage: $\begin{eqnarray} x_x = \frac{\partial x}{\partial x} = 1 \end{eqnarray}$ also bleiben die $\begin{eqnarray} F_{xx} \end{eqnarray}$ bestehen $\begin{eqnarray} y_x = \frac{\partial y}{\partial x} \stackrel{?}{=} 0 \end{eqnarray}$ weil y ist ja in diesem Fall keine Funktion von x bzw konstant OK, auf jeden Fall vielen Dank für deine bisherige Hilfe! Echt toll! Gruß
03.07.2013, 12:41	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} F_{xx} \end{eqnarray}$ ist es nicht notwendig die Kettenregel anzuwenden und noch mit $\begin{eqnarray} x_x \end{eqnarray}$ zu multiplizieren, da bereits nach x abgeleitet wurde; im Gegensatz zu $\begin{eqnarray} F_{xz}\cdot z_x \end{eqnarray}$ , da hierbei $\begin{eqnarray} F_x \end{eqnarray}$ partiell nach z abgeleitet wird, aber die Ableitung nach x gesucht ist. y ist laut Aufgabenstellung nicht von x abhängig und muss deshalb nicht gebildet werden; also $\begin{eqnarray} y_x=0 \end{eqnarray}$ Deine Formel für $\begin{eqnarray} z_{xx} \end{eqnarray}$ ist daher richtig auch wenn sie etwas aufgebläht ist.
04.07.2013, 10:15	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, viele Dank! bis dann Gruß

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