Lagrange-Basis Polynom

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Basis Polynom
Hallo,
Gegeben seien die Stützknoten
a) Stellen Sie die Lagrange-Basis-Polynome zu den Knoten auf.

Das habe ich hinbekommen:







(wäre lieb wenn jemand hier nur mal drüberfliegen würde..)

b) Es wird die Funktion g(x) auf folgende Weise definiert:


Zeigen Sie das . Und da weis ich jetzt überhaupt nicht wie ich rangehen soll. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Augenzwinkern

LG
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Deine Lagrange Polynome sind richtig.
Welche Ordnung in x haben die Lagrange Polynome?
An welchen Stellen (ohne viel zu rechnen) gilt g(x)=0?
Wieviele Stellen sind das?
Wieviel Nullstellen maximal hat ein Polynom, das nicht identisch 0 ist, mit der Ordnung n?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Hey, Wink
Danke für deine schnelle Antwort.
Also das Lagrange Polynom hat den Grad 2. Wegen n+1 Stützpunkten. , daher ist der Grad .

An welchen Stellen gilt
Also würde gelten, falls






Für alle drei Basis-Polynome gelten würde. Dann wären alle 1 also
.. aber das ist leider 3... und nicht 0 =(

Kannst du mir weiter helfen?

Maximale Nullstellen eines Polynoms vom Grad n, das nicht identisch 0 ist hat natürlich höchstens n Nullstellen..
LG
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
hallo,
du hast den tollen tip von zyko leider nicht richtig umgesetzt. Berechne doch
einmal g(x_0), g(x_1) und g(x_2) und seh was passiert. Es werden dann nicht
alle basispolynome gleich 1, sondern...
gruss ollie3
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Hallo,
danke für deine Antwort.

g(x) müsste ja die Form haben:

Also





Nun weiß ich aber nicht was mir das sagen soll ...

LG
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Wo steht denn bei g(x) ein y ?
Welchen Werte hat ?
Und welche Werte haben für ?
 
 
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Hey Augenzwinkern

Vielen lieben Dank für deine Antwort.

Welchen Wert hat ?



Welche Werte haben für ?

Es gilt also die Fälle und zu untersuchen.

Also wenn ich ausrechne, kommt nichts heraus weil der Nenner 0 wird.
und wenn ist, auch.

Wo steht denn bei ein ?

Steht nichts da, ich dachte mir das y wegen der Lagrangschen Darstellung



Liebe Grüße Shelly Augenzwinkern
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Zitat:


Also wenn ich ausrechne, kommt nichts heraus weil der Nenner 0 wird.
und wenn ist, auch.

Also, wenn ich bei einsetze kommt exakt 0 heraus.
Für alle Lagrange Polynome gilt:

Zitat:

Wo steht denn bei ein ?

Steht nichts da, ich dachte mir das y wegen der Lagrangschen Darstellung


Damit würdest du g(x) neu definieren.
Die Lagrange Polynome werden z.B. benutzt, wenn von einer Funktion an den Stellen die Funktionswerte bekannt sind, dann stellt die von dir beschriebene Summenformel eine Approximation dieseer Funktion dar und kann damit auch zwischen den bekannten Stützstellen berechnet werden, auch wenn die Funktion selbst nicht explizit bekannt ist.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Hey! Augenzwinkern
Danke für deine Antwort.
Das stimmt ... Das ist wirklich 0.

Danke das du mich über das Lagrange Polynom und deren Verwendung aufgeklärt hast.

aber wie zeige ich denn nun das:



?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Basis Polynom
Siehe meinen Beitrag vom 29.06.2013 16:41.

Oder:
Alle Lagrange Polynome haben in diesem Beispiel die Ordnung 2.
Also ist auch g(x) ein Polynom der Ordnung 2.
Deshalb kann exakt beschrieben werden.
Andererseits gilt:

Somit ist die rechte Seite identisch 0.
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