anti-selbstadjungierte Abbildung

29.06.2013, 18:04	Rhopsy	Auf diesen Beitrag antworten »
anti-selbstadjungierte Abbildung Meine Frage: Hallo, ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei folgendem Beweis: Sei V ein euklidischer Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : V \rightarrow V \end{eqnarray}$ heißt anti-selbstadjungiert, wenn für alle $\begin{eqnarray} v,w \in V \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} <\phi(v),w> = - <v,\phi(w)> \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie folgende Aussage: Sei B eine Orthonormalbasis von V. Dann ist ein Endomorphismus $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ von V genau dann anti-selbstadjungiert, wenn $\begin{eqnarray} D_{BB}(\phi) \end{eqnarray}$ schiefsymmetrisch ist, also wenn $\begin{eqnarray} D_{BB}(\phi)^T = - D_{BB}(\phi) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Für die eine Richtung "=>" habe ich mir folgendes überlegt: Ich wähle eine feste ONB B = {b1, b2,...bn} von V (darf ich die Endlichkeit von V eigentlich voraussetzen?). Dann gilt für $\begin{eqnarray} b_i, b_j \in\ V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i,j \in\ {1,..n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <\phi(b_i), b_j> = - <b_i, \phi(b_j)> \end{eqnarray}$ Meine Idee war nun irgendwie auf die Einträge der Abbildungsmatrix zu schließen, denn zum Beispiel sind ja beim Skalarprodukt gerade $\begin{eqnarray} <b_i, b_j> \end{eqnarray}$ die Einträge der Fundamentalmatrix. Wie ist das bei der anti-selbstadjungierten Matrix? Bei der Rückrichtung "<=" habe ich leider nicht so viele Einfälle. Da $\begin{eqnarray} D_{BB} \end{eqnarray}$ bezüglich einer ONB definiert ist, ist sie doch eine orthogonale Matrix, oder? Kann ich dann vielleicht benutzen, dass $\begin{eqnarray} D_{BB}(\phi)^T \cdot D_{BB}(\phi) = - D_{BB}(\phi) \cdot D_{BB}(\phi) = I_n \end{eqnarray}$ ? Ein paar Tipps wären echt toll.

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