Integral zur Fouriertransformation berechnen

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toby92 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral zur Fouriertransformation berechnen
Meine Frage:
Hallo ihr Mathematiker.

Ich muss Die Fouriertransformierte von f(X)= berechnen. Dafür muss ich also das Integral aber von minus Unendlich bis Unendlich lösen. Leider habe ich hier keine Ahnung wie man das machen soll. Ich hab schon ellenlange Rechnungen mit partieller Integration dazu gemacht, komm aber leider nicht weiter. Wenn jmd einen Tipp hätte wärs echt super :-) LG

Meine Ideen:
S.o.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Ansatz mit partieller Integration ist richtig.

Kennst du die Fouriertransformierte von .

Benutze die erste und zweite Ableitung dieser Funktion um einen Ansatz für die partielle Integration zu finden, die du zweimal durchführen musst. Am Ende brauchst du dann noch die Fouriertransformierte von und du bist fertig.

Gruß Tom
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral zur Fouriertransformation berechnen
Vielleicht wurden auch schon allgemeine Formeln für die Fourier-Transformierte des Produktes eines Monoms mit einer anderen Funktion besprochen.
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Che,

hatte ich ausgeschlossen, da man die Lösung sonst sofort "sieht".

Tom
toby92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Erst mal danke fuer die Antwort. Die Fouriertransformierte von g(x) hatten wir vorher schon berechnet, die muesste sie selbst sein. Ich kann dann die Fouriertransformierte der 2. Ableitung von g auch berechnen, nur irgendwie hilft mir das nicht bei meinem eigentlichen Problem weiter... Ich weiss nicht, wie ich partiell integrieren soll, da gibts ja so einige Moeglichkeiten was ich als Ableitung betrachte...
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich kann dann die Fouriertransformierte der 2. Ableitung von g auch berechnen, nur irgendwie hilft mir das nicht bei meinem eigentlichen Problem weiter


Wenn du das kannst, was du behauptest, bist du schon fertig. Schreibe mal die zweite Ableitung von auf.


In meinem Tipp habe ich auch nicht behauptet, dass du die Fouriertransformierte der zweiten Ableitung ausrechnen sollst. Du sollst dir die zweite Ableitung anschauen und als in für die partielle Integration verwenden.
 
 
toby92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für g'' hab ich raus:



und
wobei ich mit F Fouriertransformierte meine.

Das hab ich aus der Formel , die wir in der Vorlesung hatten.

Und jetzt soll ich das hier ausrechenen: , oder wie meinst du das?

Ich weiß halt nicht, wie ich da anfangen soll, das sieht einfach riesig aus...
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich fürchte, du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber dass passiert jedem mal.

Ich schreibe dir jetzt auf, was ich meinte und erkläre dir dann anschließend, warum du das gar nicht brauchst.




Die erste Zeile sieht wie Zauberei aus, aber ich addiere nur etwas, was ich sofort wieder abziehe.







Dass in diesem Integral nimmt man jetzt als in und integriert partiell. ist ja bekannt.

Wenn du das ausgerechnet hast, kannst du noch einmal partiell integrieren.

Aber das brauchst du alles nicht, wenn du auch weißt, dass (in deiner Notation)



ist. Das kannst du nämlich auf



anwenden und bist sofort fertig.

Ich hoffe, ich habe dich jetzt nicht noch mehr verwirrt (und keinen Tippfehler in den Formeln, mit denen ich mich noch etwas abmühe).

Gruß
und gute Nacht
Tom

P.S.: Der Hinweis , dass ihr das hattet



wäre früher wichtig gewesen!
toby92 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank nochmal fuer die ausfuehrlich Antwort, mit dem 1. Ansatz, also mit 2 Mal partieller Integration, hab ichs jetzt geschafft. Allerdings waer ich da wahrscheinlich nie im Leben selber drauf gekommen ;-)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral zur Fouriertransformation berechnen
Zitat:
Original von Che Netzer
Vielleicht wurden auch schon allgemeine Formeln für die Fourier-Transformierte des Produktes eines Monoms mit einer anderen Funktion besprochen.


Big Laugh
Tom92 Auf diesen Beitrag antworten »

@Che: Bist du etwa schadenfroh? Augenzwinkern So wie die Frage gestellt war, habe ich nicht damit gerechnet.

Und der Lerneffekt ist beim ersten Weg sicher größer.


@Toby
Zitat:
Allerdings waer ich da wahrscheinlich nie im Leben selber drauf gekommen ;-)


Doch, wärst du. Sei nicht so pessimistisch.
Ich kannte vor zwei Wochen die Fouriertransformation nicht (mehr) und wusste auch nicht (mehr) wie partielle Interation geht. (Ist über zwanzig Jahre her)

Ich habe in Wikipedia den Artikel über die Fouriertransformation gelesen und vermutet, dass du die Formeln mit den Monomen nicht kennst, weil es dann zu einfach gewesen wäre. (OK, partielle Integration ist trivial; ich wusste noch wie man ein Produkt ableitet.)

Dann habe ich mir den Fixpunkt der FT angeschaut . Da sieht man sofort, dass beim Ableiten ein als Faktor entsteht. Man braucht aber als Faktor; also noch einmal ableiten. Und, oh Wunder, es entsteht der Faktor , den man wunderbar gebrauchen kann. Dann ergänzt man das zu berechnende Integral genau so, wie man es für partielle Integration braucht und fängt an zu rechnen. Der Rest geht von selbst.

Gruß Tom
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