Determinante der assoziierten Matrix - Frage zu einem Beweis

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante der assoziierten Matrix - Frage zu einem Beweis
Hallo alle zusammen,
ich hab hier einen Satz und den würde ich gerne beweisen, aber ich verstehe es leider nicht ganz deshalb wollte ich hier mal nachfragen, ob mir jemand auf die Sprünge helfen kann =)

Also gegeben sei eine nxn Matrix deren Zeilen und Spalten man so mit -1 multiplizieren kann, dass die Zeilen- und Spaltensummen 0 ergeben. Dann streicht man eine bel. Zeile und Spalte (-> assoziierte Matrix) und betrachtet den Betrag der Determinanten dieser neuen Matrix. Als Beispiel: assoziierte Matrix (z.B.): also ist der Betrag der Det. 3.

Jetzt möchte ich zeigen, dass z.B. folgende Matrix den gleichen Betrag der Determinante der assoziierten Matrix hat:
Diese Matrix entsteht sozusagen aus der oberen Matrix, ich kann zeigen, dass ich durch Zeilen- und Spaltenumformungen die 4x4 Matrix in die Form bringen kann, dass die erste 3x3 Matrix links oben steht und die hinzugekommene Zeile und Spalte nur eine enthält. Das ist als Tip gegeben. Aber wie soll man daraus beweisen, dass wenn ich in der 4x4 Matrix eine bel. Zeile und Spalte streiche, die betragsmäßig gleiche Determinante rauskommt wie wenn ich in der ersten Matrix eine bel. Zeile und Spalte streiche... Ich verstehs einfach nicht. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann oder zumindest einen Denkansatz geben kann. Es muss ja was damit zu tun haben, dass ich die Matrix ja so umformen kann, also in diesem Fall so:

LG
Hamsterchen
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,
also das ist echt wichtig für mich und ich wäre ja schon über einen ansatz sehr dankbar. bitte kann sich das nicht mal jemand anschauen?

lg
hamsterchen
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo hamsterchen,
sorry, ich wollte eigentlich schon an dem tag, als du das problem vorgestéllt
hattest, was dazu sagen.
Also, wenn du deine letzte matrix nach der 4.zeile entwickelst, bleibt ja wegen
der praktischen nullen nur noch die assozierte matrix über, und das ist doch
genau, was du haben willst.
Und es ist auch wichtig zu wissen, dass die determinante einer matrix nur das
vorzeichen wechselt, wenn man 2 zeilen oder spalten miteinander vertauscht.
Jetzt ist nur noch die sache, wie man das schafft, dass in der letzten zeile
bis auf die letzte 1 oder -1 nur nullen darstehen. Das kann man damit erreichen,
indem man zur letzten zeile einfach alle anderen hinzuaddiert und ausnutzt.
das die zeilensumme immer 0 beträgt.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
gruss ollie3
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi,
vielen vielen dank schonmal für die antwort. aber mein problem ist, dass die determinante der streichungsmatrix betragsmäßig gleich bleibt, dass die determinanten der "normalen" matrizen gleich sind weiß ich. oder steh ich irgendwie aufm schlauch? ^^

lg
hamsterchen
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, aber wie gesagt, die determinante einer matrix ändert nur sein vorzeichen,
wenn man 2 zeilen oder spalten miteinander vertauscht, ich hatte mir das so
gedacht, dass man die zeile und die spalte, die man streichen will, vorher an die
seite und nach unten tauscht, dann den trick mit dem addieren anwendet,
das auf der untersten zeile bis auf die 1 nur noch nullen dastehen, und wenn
man die determinante nach dieser zeile entwickelt. bleibt als "streichmatrix"
doch nur noch die orthogonale matrix über...
gruss ollie3
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmm aber ich glaube man "darf" sich nicht merken, welche zeilen un spalten man streicht. also ich kann in der ersten matrix z.b. die erste zeile und spalte streichen und in der zweiten matrix dann z.b. die 2. zeile und spalte.
es geht ja darum, dass alle diese matrizen zu ein und dem selben knoten gehören, nur jenachdem wie der geformt ist, kommt halt ne andere matrix raus. ich muss aber zeigen, dass die determinante immer gleich ist, egal wie der knoten verformt ist, also egal welche matrix ich mir nehme und egal welche zeile und spalte ich streiche ^^

verstehst du wie ich das meine? ich weiß, bin schlecht im erklären xD sorry

lg
hamsterchen
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo hamsterchen,
sorry das ich mich erst jetzt melde, war in den letzten tagen grässlich erkältet
(trotz sommer) und konnte mich nur schlecht konzentrieren.
Also, das mit der streichungsmatrix ist kein problem, es geht ja nur darum, dass
sich der wert der determinante nicht ändert (bis auf das vorzeichen), und wenn
man die spalte, die man streichen will, durch fortgesetzte vertauschungen
mit der nachbarspalte bis ganz rechts an den rand verschiebt und die spalte,
die man streichen will, auf diese weise ganz nach unten verschiebt, bleibt dann
immer die streichungsmatrix, die man auch so erhalten würde, übrig.
Ich habe jedoch ein anderes problem entdeckt, wenn man zur untersten
zeile dann alle anderen hinzuaddiert, hat man unten dann nur nullen, doch wie
kommt man dann zu der 1 rechts unten? verwirrt
Am besten, du fragst noch einen experten z.B. tmo, der wird dir das
bestimmt beantworten können.
gruss ollie3
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