Gram-Schmidt Algorithmus

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Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidt Algorithmus
warum ist das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren kein numerisch stabiler Algorithmus?

Etwa weil dabei recht viel summiert wird, die addition ein numerisch instabiles verfahren ist und somit große ungenauigkeiten auftreten könnten. Also das die z.B. berechneten Vektoren durch Fehler nicht mehr paarweise orthogonal sind???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist folgendes gemeint: Angenommen, im Laufe des Verfahrens kommt ein Vektor zur Bearbeitung, der bereits von den bisherigen linear abhängig. Dann müsste die Differenzbildung im ersten Teilschritt des Gram-Schmidt-Verfahrens eigentlich den Nullvektor liefern - tut sie aber wegen numerischer Effekte (Differenzbildung) nicht ganz, und Auslöschungseffekte tun ihr übriges. Die anschließende Normierung im zweiten Schritt bringt dann einen Vektor hervor, der sonstwohin zeigt...

Ähnliche Effekte sind dann natürlich bei "nahezu" linearer Abhängigkeit zu beobachten. Ich weiß selbst, dass das kein sauberer mathematischer Begriff ist, aber ich denke du weißt, was ich damit meine.
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