Betragsfunktion Extremwert

29.06.2013, 19:32

Der Gerät

Betragsfunktion Extremwert

Meine Frage:
Hey zusammen,

Habe ein Problem, zur eindeutigen Bestimmung eines Extrempunktes der Betragsfunktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=|\sqrt{x} -2| \end{eqnarray*}$
(Definitionsbereich, Ableitung usw. sind bekannt)
Mein Problem dabei ist, dass die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist/wird.

Meine Ideen:
Ich könnte wenn über die Plausibilität (Graphen oder, dass eine Betragsfunktion nicht < 0 wird) eigentlich sagen, dass diese in $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ ein Extremum besitzt.

Aber reicht es aus bzw. ist diese Plausibilität ein Beweis dafür, dass dort ein Extrempunkt vorliegt? Oder wie könnte man es in diesem Fall Beweisen?

29.06.2013, 19:42

jadgj

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Betragsfunktion Extremwert
hallo,

erweiter doch mittels 3. binomischer Formel. Dann müsste es glaube ich hinhauen.

Gruß

29.06.2013, 19:46

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x)=0 geht hier nicht, da die Funktionsvorschrift nicht stetig differenzierbar ist.
Für absolute Extrema ist das auch keine notwendige Bedngung.

Und je nach dem wie der Definitionsbereich [ wo ist der ? ] gewählt ist, gibt es bis zu 3 interessante Punkte.

29.06.2013, 20:00

DerGerät

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Defintionsbereich ist: $\begin{eqnarray*} D=(0,\infty) \end{eqnarray*}$ Wink

Es geht mir nicht so ganz darum, wo sich diese befinden.
Sondern um den Beweis dieser Extrempunkte.

29.06.2013, 20:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DerGerät
Der Defintionsbereich ist: $\begin{eqnarray*} D=(0,\infty) \end{eqnarray*}$

Also tatsächlich $\begin{eqnarray*} \mathbb D= \{x\,| 0 {\color{red} < } x < \infty ~ \land ~ x \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ?

Dann sehe ich auch nur $\begin{eqnarray*} N(4,0) \end{eqnarray*}$

Das ist eine Nullstelle von g(x) mit f(x)=|g(x)| . Da kann man argumentieren oder auch rechnen, je nach Anforderung.

Beim Rechnen ist wohl nur zu zeigen, dass in einer beliebig kleinen Umgebung der Funktionswert >0 ist.

29.06.2013, 20:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Beim Rechnen ist wohl nur zu zeigen, dass in einer beliebig kleinen Umgebung der Funktionswert >0 ist.

Die Funktionswerte in einer Umgebung müssen nicht einmal strikt positiv sein, sie brauchen nur größer oder gleich $\begin{eqnarray*} f(4)=0 \end{eqnarray*}$ zu sein.

29.06.2013, 20:22

DerGerät

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Entschuldige bitte, war nicht ganz bei mir, meinte natürlich $\begin{eqnarray*} D=[0,+\infty] \end{eqnarray*}$ Wink

29.06.2013, 21:25

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

dachte ich es mir schon. Dann gibt es eben etwas mehr Arbeit smile

Noch was: Vollzitate, vor allem in direkter Antwort sind nicht gern gesehen ----> Datenmüll

@Che Netzer: Demnach wäre im Querschnitt der Boden eines Troges auch ein Extrem-"punkt" ?

29.06.2013, 21:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja (wenn ich dich richtig verstehe).

Für gewöhnlich ist ein Maximum (Minimum) gerade dadurch definiert, dass im Definitionsbereich eine Umgebung der fraglichen Stelle existiert, in welcher die Funktion keine größeren (kleineren) Werte annimmt. [was natürlich etwas präziser formuliert werden müsste]
Insbesondere haben konstante Funktionen überall gleichzeitig Maxima und Minima.

Der neue Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \left[0,+\infty\color{red}\right] \end{eqnarray*}$ ist aber auch noch zu hinterfragen.

Neue Frage »

Antworten »

Betragsfunktion Extremwert

Verwandte Themen