Finde Polynom f mit f(a)=0, a gegeben.

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Fürst Auf diesen Beitrag antworten »
Finde Polynom f mit f(a)=0, a gegeben.
Hallo!

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Geben Sie ein normiertes Polynom vierten Grades an, welches mit als Nullstelle hat. Erklären Sie, ohne nachzurechnen, warum gilt.

Mein Ansatz:

Ich habe ersteinmal die Vermutung:
.
Dann suche ich mir ein Polynom, welches und als Nullstelle hat.
Ich setze also .

Ich komme nun in so fern nicht weiter, dass es mir nicht gelingt zu prüfen, ob f nun auch als Nullstelle hat und wenn dies so wäre, wie ich sowas ohne Nachrechnen begründen kann. Ist der Ansatz überhaupt richtig?

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Liebe Grüße
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist m.E. so nicht richtig. Von gegebenen Nullstellen aus kann man nicht schließen, dass auch deren Summe oder Differenz Nullstellen sind.
Der Schlüssel scheint vielmehr darin zu liegen, dass das Polynom rationale Koeffizienten haben muss, seine Nullstellen jedoch irrational sind.
Daher muss das Produkt aller 4 Nullstellen rational sein ...

mY+
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist ganz sicher falsch, wie das Gegenbeispiel mit den 4 Nullstellen und zeigt.
Vermutung (nach Galois): sind Körperautomorphismen von .
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Eine gute Aufgabe! Selbst Mathematica spaltet bei Gleichungen wie x^4-10x^2+1=0 die Wurzeln nicht auf, dabei ist es einfach zu machen:

Ausgehend von der Gleichung ist


smile
Fürst Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finde Polynom f mit f(a)=0, a gegeben.
Hallo alle miteinander und Danke für eure Antworten!

Ich habe jetzt verstanden, dass mein Ansatz wenig Sinn machte und den Vorschlag von mYthos verwendet.

Ich setze also .

Durch Ausmultiplizieren erhalte ich:

Und somit liegt, da a und b aus Q sind, f sicherlich in Q[t] und hat offensichtlich aufgrund der Zerfällung die gefragten Nullstellen.

Soweit korrekt?

Ich möchte jetzt gerne zeigen, dass wenn gilt, f irreduzibel über Q ist.
Also nehme ich an, f sei reduzibel über Z. Dann ex. folgende Zerlegungsmöglichkeiten:
i) grad 0 und grad 4
ii) grad 1 und grad 3
iii) grad 2 und grad 2

i) Wir können nur die 1 rausziehen, ohne hK(f)=1 zu verändern. 1 ist in Z Einheit und somit erhalten wir keine reduzible Darstellung
ii) Wir kennen alle 4 Nst. von f und diese sind nicht ganzzahlig. Also zerfällt f nicht in deg 3 und deg 1 über Z

Wie kann ich zeigen, dass iii) nicht geht?

Wenn ich das noch hinbekomme, habe ich dass f irred. in Z und somit irred. in Q ist und wäre fertig.
Richtig?

Liebe Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur 3 Multiplikationen mit durchführen um zu zeigen, dass kein quadratischer rationaler Faktor vorliegt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von thk
Eine gute Aufgabe! Selbst Mathematica spaltet bei Gleichungen wie x^4-10x^2+1=0 die Wurzeln nicht auf,

Das tut Mathematica schon. Man muss nur höflich darum bitten.

[attach]30817[/attach]
Fürst Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis!

Zitat:
Du brauchst nur 3 Multiplikationen mit durchführen um zu zeigen, dass kein quadratischer rationaler Faktor vorliegt.


Ersteinmal danke für deine Antwort!
Was genau meinst du mit 3 Multiplikationen? An was soll ich dreimal multiplizieren und wieso liefert mir das die Irreduziblität?

Liebe Grüße
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das tut Mathematica schon. Man muss nur höflich darum bitten...

Gut zu wissen Augenzwinkern
Kennst du eine Syntax für die Online-Version (Wolfram Alpha)?
FullSimplify[solve[x^4-10x^2+1=0, x]] funktioniert hier nicht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da kenne ich auch nichts.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Fürst
Du hast 4 lineare Faktoren, wenn du glaubst, dass ein rationaler quadratischer Faktor vorliegt, so bekommst du ihn durch Multiplikation von 2 linearen Faktoren ... na gut, dass sind 4 über 2 also 6 Multiplikationen, dann "ist der Drops gelutscht". ( Ich glaubte, dass 3 Multiplikationen genügen, weil der Rest auch nur ein paar andere Vorzeichen enthält, aber bevor wir das bewiesen haben, sind die 6 Multiplikationen längst durchgeführt. )
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