Unterräume bei Mengen

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eintopf Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume bei Mengen
Meine Frage:
Moin moin, ich habe eine Aufgabe, bei der ich absolut nicht weiß, was ich da machen soll. Es geht dabei um die Unterräume von Vektoren. Von dennen verstehe ich leider auch die Definition nicht.
Kann mir bitte jemand Hilfestellung bei der Aufgabe geben oder hat wer einen Link bei dem man Informationen zu dieser Materie leicht verständlich nachlesen kann? Die Inhalte der meisten Mathebücher schrecken mich zu sehr ab, weil ich den Inhalt nicht nachvollziehen kann.

Meine Ideen:
Leider keine!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde reicht es hier aus, die Unterraumkriterien nachzurechnen, also dass die Menge nicht leere und bzgl. Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kriterium, dass die Menge nicht leer sein soll, kann man auch dazu abschwächen, dass der Nullvektor enthalten sein muss.
Indem man das als erstes überprüft, kann man hier auch einige Aufgabenteile abkürzen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Kriterien scheinen ja wohl folgende zu sein ( in eigenen Worten):
- U darf nicht gleich der Leermenge sein.Wie bekomme ich denn den Vektorraum? Ohne den kann ich doch garnicht überprüfen, ob es sich bei U um einen Untervektorraum handelt. Und was ist die Leere Menge eines Vektors?
- die einzelnen Elemente für x bzw. y müssen im Unterraum liegen, sowie das Ergebnis der Addition von x und y. Stellt sich mir die Frage, was ich für x und y habe? Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist x und 0 irgendwie der Unterraum?
-Was bedeutet der Körper K? Ist das nochmal ne Überordnung des Vektorraumes?
Und welchem Skalar muss dann multipliziert werden?

Ich hab das einfach mal frei geschreben. Ich versteht halt absolut nicht, was dort gemeint ist. Für mich waren Vektoren bisher nur Richtungsangaben im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum sowie die Wirkungsrichtung von Kräften.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eintopf
Für mich waren Vektoren bisher nur Richtungsangaben im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum sowie die Wirkungsrichtung von Kräften.


Das solltest du bitte schleunigst vergessen, wo hast du denn bisher mit Vektoren gearbeitet?

Was ein Vektorraum ist, ist genau definiert, ebenso was ein Körper ist. Bei beiden handelt es sich um bestimmte algebraische Strukturen, in denen verschiedene Rechenoperationen möglich sind. Was du mit eigenen versucht hast auszudrücken, solltest du auch nicht unbedingt behalten, das ist nicht hilfreich bzw. falsch.

Schlag zunächst mal die notwendigen Definitionen nach und sieh dir auch mal ein paar Beispiele an, ohne diese Grundlagen ist die Aufgabe sonst nicht zu lösen.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Zitat:
Original von eintopf
Für mich waren Vektoren bisher nur Richtungsangaben im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum sowie die Wirkungsrichtung von Kräften.


Das solltest du bitte schleunigst vergessen, wo hast du denn bisher mit Vektoren gearbeitet?
.


Naja, halt analytische Geometrie und Getriebelehre. Ansonsten findet man die ja auch in Teilen der Experimentalphysik und technischen Mechanik. Ich versuche bei der Mathematik immer einen Bezug zu meinem Studium (ähnlich dem Maschbau) zu finden, weils mir dann einfacher föllt.
Danke für die Links, ich hab die zum Teil schon durchgearbeitet, aber die waren mir an einigen Stellen zu komplex.
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anwendungen aus der Physik oder Geometrie sind schön und gut, in der linearen Algebra allerdings eher hinderlich. Vektoren sind Elemente eines Vektorraums; es sind keine Richtungs- oder Kraftkomponenten und einen Vektor in ein Koordinatensystem einzeichnen ist i.A. auch nicht möglich; oder wie würdest du den Vektor aus dem Vektorraum der (reellen) Polynome zeichnen?

Hier solltest du dich an die rein mathematische Definition halten und damit arbeiten.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch, bei uns in den Übungen und im Skript steht über das Thema längst nicht so viel drinne, wie du mir hier an Lesematerial gibst. Wir haben auch eigentlich nur 3 Aufgaben in den Übungen gehabt, bei dem es um den Vektorraum oder einen Unterraum von R^n geht.
Es stellen sich mir bei dem durchlesen immer wieder Fragen. z.B.
Was bedeutet dieses Symbol ? Ich konnte nur eine Defintion für irgendwelche Rechnungen mit Ringen finden. Das fand ich dann aber doch etwas zuweit weg vom Thema.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

ist einfach ein Zeichen für die Skalarmultiplikation. Es gibt einen Unterschied, ob du zwei reelle Zahlen multiplizierst oder einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst. Um das zu unterscheiden verwendet man manchmal eben ; ähnlich dann eben mit um die Addition von zwei Vektoren von der Addition von zwei Zahlen abzugrenzen. Darüber solltest du dir aber nicht so viele Gedanken machen, normalerweise ist aus dem Kontext klar, welche Multiplikation gemeint ist, z.B. ist eindeutig als Skalarmultiplikation zu erkennen. Auf die Unterscheidung mit verzichtet man daher.

Was ist bei dieser Aufgabe zu tun? Jeder (Unter-)Vektorraum muss den Nullvektor enthalten, daher überprüft man zuerst, ob der Nullvektor in der gegebenen Menge enthalten ist (einsetzen). Wenn er dies ist, überprüft man die Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Skalarmultiplikation. Dafür nimmt man sich zwei beliebige Elemente der Menge und bildet die Summe bzw. multipliziert ein beliebiges Element der Menge mit einer beliebigen Zahl aus dem Körper und überprüft, ob das Ergebnis wieder in der Menge liegt.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du genau mit einsetzten?
Ich hätte es jetzt so gemacht. scheint für mich der Nullvektor zu sein.
und das geht nur auf, wenn
Aber auf diese Weise könnte ich das doch bei beliebigen Mengen machen und das Ergebnis wäre immer 0. Das kann also nicht stimmen.
Eine andere Idee habe ich aber nicht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

1. Was hat das da zu suchen? Das ist noch nicht nötig.
2. Warum sollte das nur für erfüllt sein? Was ist mit ?

Allgemein: was muss ein Vektor erfüllen, um in dieser Menge zu liegen? Erfüllt der Nullvektor das?
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Na, der Nullvektor ist doch Bestandteil eines jeden Unterraumes. Das ganze andere war nur ein Hirngespinst, das mir eingefallen ist, als ich die Wikipediaartikel nochmals durchgegangen bin.
Ich hätte da auch wieder ein neues:
Zitat:
In der euklidischen Ebene bilden alle Geraden durch den Nullpunkt Untervektorräume.
(wikipedia)
Auch wenn du geschrieben hast, dass ich es nicht von der geometrischen Seite sehen soll, kam mir die Idee, dass man eventuell aus dem eine Funktion machen könnte und die auf das Scheiden des Punktes (0/0) untersuchen könnte?

Zu deiner Frage was ein Vektor erfüllen muss: Er muss sich aus den Komponenten von 0 und x (Element aus allen rellen Zahlen) zusammensetzen?

Ich habe im Moment noch ein Proble damit, die Begriffe Menge und Unterraum zusammenzubringen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Da Iorek offline ist...

Ein Vektorraum (und damit ein Unterraum) ist nichts anderes als eine Menge von Vektoren.

In dieser Menge entahlten sein muss der Nullvektor, damit man es einen Unterraum nennt, und er muss einige andere Eigenschaften erfüllen.

Eir scheune uns einmal deine erste Menge von Vektoren an:



Hier steht nichts anderes als:

"Die Menge aller Vektoren mit zwei Einträgen, von denen der erste Eintrag beliebig aus IR zu wählen ist und der zweite Eintrag verschwindet".

Nun ist erst mal zu prüfen, ob es eine Zahl aus IR gibt, so dass man den Nullvektor enthält.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Die gibts, mit der 0.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, wähle x=0 und du erhälst den Nullvektor, und es ist , also ist diese Wahl zulässig.

Nun nimm dir zwei beliebige aber unbestimmte Vektoren aus der Menge und addiere sie, liegt der Vektor wieder in der Menge?
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet bestimmt bzw. unbestimmt bei Vektoren?
Ausm Bauch heraus hät ich jetzt mal gesagt.
Das gleiche muss ich dann auch noch mit der Skalarmultiplikation machen, oder?
Das wäre dann:

Würde mal behaupten, dass die alle in der Menge liegen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist auch so, dass die Vektoren wieder in der Menge liegen. Aber du hast das jetzt für einige bestimmte Vektoren gezeigt, wir wissen jetzt nur, dass die Summe zweier ganz betimmter Vektoren wieder in der Menge liegt. Wir wissen aber nicht, ob das für jede beliebige Summe auch wieder in der Menge liegt. Da die Menge unendlich viele Elemente enthält wird es auch schwer, das für jedes mögliche Paar konkret nachzurechnen.

Deshalb nehmen wir unbestimmte Vektoren, zum Beispiel die beiden Vektoren und , wobei beliebig sind (da ist auch der Zusammenhang zu beliebigen Vektoren).

Nun addieren wir diese und überlegen, ob die Summe wieder in der Menge liegt.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Solange und müsste die Summe doch in der Menge liegen, oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, mit ist auch , da IR abgeschlossen ist bezüglich der Addition.

Also liegt die Summe zweier Vektoren in der Menge oder nicht?
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, nun noch die Multiplikation mit einem beliebigen Skalar und einem beliebigen Vektor (was das bedeutet wissen wir ja nun..).
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Hät ich jetzt so gemacht.

Und das liegt dann wohl auch in der Menge.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Eine Anmerkung: y als Skalar zu wählen halte ich für ungünstig, da der zweite Eintrag eines Vektors häufig mit y bezeichnet wird oder ein zweiter Vektor, Skalare bekommen oft, oder üblicherweise griechische Buchstaben, zum Beispiel .

Das Skalar kommt stets aus dem Grundkörper, über dem sich der Vektorraum befindet, also bei dem Vektorraum kommt das Skalar aus IR.


Okay, dann wagen wir uns mal an die nächste Aufgabe, versuch es erst mal alleine, ähnlich wie wir es auch gerade gemacht haben.
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibts doch schon beim Nullvektor Probleme, weil wir die 1 dort haben und die nicht 0 werden kann.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, der Nullvektor liegt schon mal nicht in der Menge.

Dann zur dritten Aufgabe
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Nullvektor gilt das selbe wie in der ersten Aufgabe. Wenn x=0 ist.
Für die Addition müsste dann gelten:

Für die Skalarmultiplikation:

Und da für x wieder das selbe wie aus der ersten Aufgabe gilt, müssten die Ergebniss innerhalb der Menge liegen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Die wichtige Argumentation ist immer die Abgeschlossenheit von IR.

Zitat:

Für die Addition müsste dann gelten:


Hier ist und der Vektor hat wieder die geforderte Struktur (zweiter Eintrag ist das 2-fache des ersten Eintrags)

Zitat:

Für die Skalarmultiplikation:


Auch hier, abgschlossenheit und "Struktur" der Lösung.

Nun scheint es ja etwas gefunkt zu haben, schaffst du die letzte auch noch?
eintopf Auf diesen Beitrag antworten »

Na da lässt sich wieder kein Nullvektor finden. Wenn x=0 wäre dann hätte man
Und damit wäre die Menge kein Unterraum.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Und jetzt zeige ich dir noch kurz, wie du die Mengenn auf die aus der Schule bekannte Parameterform einer Geraden zurückführen kannst, dann sieht man auch gleich, ob es eine Gerade ist, die durch den Ursprung geht.



Wir schreiben die Einträge des Vektors als Summe von einem Summanden, der von x abhängt und einem konstanten Summanden:

1.)


Nun trennen wir den Vektor:



Jetzt ziehen wir das x als Parameter heraus:



Und das ist die aus der Schule bekannte Parameterform dieser Geraden.

2.)


und das entspricht



Usw.
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