Wertebereich einer Funktion

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steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »
Wertebereich einer Funktion
Hallo zusammen,

habe bei der Aufgabe:

Bestimmen Sie den Wertebereich von

keine Lösungsidee....

Wie mache ich das?

Der Definitionsbereich sollte ja sein...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wertebereich: "Was kann y alles sein".

Erkannt hast du ja schon die Polstelle bei x=1. Diese ist einfach, also mit Vorzeichenwechsel. Dass y also ganz R umfasst scheint absehbar. Bleibt nur noch eventuelle Ausnahmen zu untersuchen. Dazu halte dir vor Augen, wie die Funktion denn aussieht -> bestimme die waagerechte Asymptote.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wie bestimme ich die waagerechte Asymptote?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Schaue nach, was für x-> unendlich passiert.

Bzw. du weißt es einfach. Was man mit der Begründung "Zählergrad < Nennergrad" sicher darf.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das so?

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup, das passt.
Die Asymptote liegt also bei y=0.
Es werden also alle Werte von -unendlich (Polstelle) bis 0 erreicht, sowie alle Werte von 0 bis unendlich.
Die 0 selbst wird auch sonst nie geschnitten (da es keine Nullstellen gibt).

Der Wertebereich ist also
W=R\{0}

Augenzwinkern
 
 
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie wäre es bei der Aufgabe?

Hier ist ja der

Oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Bei welcher Aufgabe?
Der gerade besprochenen? Da hast du im ersten Beitrag doch schon den richtigen Bereich angegeben Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, sorry smile

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da ist der Definitionsbereich korrekt.

Zum Wertebereich folgende Überlegung: Nach oben keine Beschränkung.

Nach unten: Die Wurzel ist mindestens 0, und sonst aber positiv. Es würde also ab 2 losgehen können.
Ist 0 aber wirklich der Minimalwert der Wurzel? Überprüfe das Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie berechne ich den Minimalwert der Wurzel?

Zitat:
Zum Wertebereich folgende Überlegung: Nach oben keine Beschränkung.


Weil ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steveo123
Zitat:
Zum Wertebereich folgende Überlegung: Nach oben keine Beschränkung.


Weil ?


Jein, aber weil wir eine Addition haben und die nach oben nicht beschränkt ist. Wir steigen dank der Wurzel immer und immer weiter.



Zitat:
Und wie berechne ich den Minimalwert der Wurzel?


Welcher ist der kleinste Werte, den diese Wurzel annehmen kann? Groß mathematisch ist das nicht zu beweisen. Was sagt dir dein Bauch? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der kleinste Wert 0?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist er normalerweise. Denn negativ kann die Wurzel wie gesagt nicht werden. Aber wie erreichst du hier die 0? Ich schaffe dies nicht Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber 2, oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
Denn für jedes x (im Betrag), welches größer 0 ist, ist wird die Wurzel immer größer. Den kleinsten Wert für die Wurzel erhält man also für x=0 -> das ist 2.

Nun können wir also sage W=R|{y>4}...oder ist es W=R|{y>=4}? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste sein.

In der Lösung steht
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist beides dasselbe und korrekt.
Den | findest du übrigens, wenn du "Alt Gr + <" drückst Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß wo ich "|" finde smile Dachte das "/" oder "\" soll man benutzen...

Danke für deine Hilfe! Freude
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin was die Notation angeht immer etwas schlampig *hust*, aber / kenn ich da jetzt nicht^^. Nimm lieber den senkrechten Strich, der sollte in jedem Fall passen Augenzwinkern .


(Für "ohne" ist natürlich \ richtig gewesen!)
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei der Aufgabe?



Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Während ich essen bin, kannst Du ja mal das Verhalten für x gegen unendlich und gegen minus unendlich untersuchen. Eine vorheriges Kürzen von 2^x mag da hilfreich sein (beachte den Spruch: Aus Summen kürzen nur die ....).
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lasse ich das denn gegen laufen?

Gegen :



Stimmt das?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup, das is richtig.



Was passiert? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde sagen das gleiche smile

Habe noch nie gegen unendlich gerechnet....
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es nicht.
Hilft es dir, wenn wir das Vorzeichen tauschen?



Jetzt nochmals einen Vorschlag? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das verstehe ich nicht....
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ob du nun für alle x -unendlich einsetzt, oder bei allen x'en das Vorzeichen verdrehst und dann unendlich einsetzt, macht keinen Unterschied. So aber fällt dir es vllt leichter den Grenzwert zu erkennen? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht warum -unendlich den Grenzwert ändert..

Für mich kling gegen minus unendlich so:

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du überall negative Vorzeichen im zweiten Limes?
Oder hast du vergessen das Vorzeichen beim limes selbst zu drehen?





wäre soweit richtig. Nicht aber die folgende Interpretation.



Bleiben wir mal bei meiner Umformung (die sich nun auch direkt aus der deinigen ergibt):


Gib doch nun mal in den Taschenrechner letzteren Term ein, wobei du x=100 wählst. Wogegen streben wir nun? Augenzwinkern
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit der Umformung habe ich jetzt verstanden smile



Aber weiß jetzt nicht wie es hier weitergeht und was ich genau in den Rechner tippen soll...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Tippe den Term in den TR. Wähle für x=10, 100 und wegen mir auch 1000 Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso smile

Das Ergebnis wird immer kleiner...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude .

Für x-> unendlich gehen wir gegen 1
Für x-> -unendlich gehen wir gegen 0

Da es keine Polstellen oder ähnliches gibt, bewegt sich unser Wertebereich also genau dazwischen smile .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn der Term nach dem Schritt aus?



Bei gegen unendlich war es ja

Tu mich da irgendwie schwer....
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm? Die Aussage der beiden Ausdrücke ist eine jeweils andere.
Um was genau gehts dir nochmals?
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nur wissen wie die Aufgabe zuende "geschrieben" wird..



Weißt du was ich meine?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Vorzeichen gewechselt, also muss beim 2ten Ausdruck ein +unendlich stehen.
Siehe nochmals hier:



(Das Vorzeichendrehen ist natürlich keine Pflicht. Erschien mir nur einfacher zum Verstehen.)

Ich würde sagen du kannst direkt 0 hinschreiben. Kein ... Augenzwinkern .
Was du mit dem Taschenrechner kontrolliert hast, ist mit ein wenig Übung offensichtlich.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mache ich es so smile

Vielen Dank dir! Freude
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne smile ,

Wink
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