Integral bestimmen

30.06.2013, 18:58

Jens1

Integral bestimmen

Wie kann ich folgendes Integral bestimmen?

1/(x*wurzel(1+x^2))

Welche substitution ist hier am sinnvollsten?

x=tan(u),
u=wurzel(1+x^2)
y=sinh(u)

Steh auf dem Schlauch und weiss auch nicht mehr weiter.

30.06.2013, 19:14

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Wink

geht es um dieses Integral?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x \sqrt{1+x^2} } \end{eqnarray*}$

also

x= tan (u) führt mit Sicherheit zum Ziel.

PS die Substitution
x= sin h t führt auch zum Ziel.

Man kann vorher oft nicht sagen ,was besser ist . Vieles ist auch Geschmacksache.

30.06.2013, 19:32

Jens11

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Was bringt mir eigentlich die Substitution u=wurzel(1+x^2)?

Diese ist nämlich als Hinweis angegeben. Ich weiss jetzt nicht ob ich diese nutzen muss oder kann.

30.06.2013, 19:36

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral bestimmen
Wink

da diese ist auch möglich , funktioniert dann mit PBZ.
liegt vielleicht am Nähesten auf der Hand , weil Substitution am Leichtesten erkennbar.

Ich denke, was als Hinweis steht , sollte auch getan werden.
Habt Ihr die anderen beiden Wege gehabt in der Vorlesung ?

Die wollen dann immer das haben, was in der Vorlesung kam oder eben dann das mit dem Hinweis. So war es bei mir.

30.06.2013, 19:38

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist so eine Aufgabe immer über die Subs. der ganzen Wurzel möglich? Also die Wurzel wie sie hier gegeben ist. Ich kannte das bisher nur über trig. subs..

30.06.2013, 19:41

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sowas nicht verallgemeinern, weil es von der konkreten Aufgabe abhängt.
Aber ich habe bemerkt, das in vielen Fällen das was unter der Wurzel steht , dann auch die Substiution ist.

30.06.2013, 19:46

Jens11

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Man kann sowas nicht verallgemeinern, weil es von der konkreten Aufgabe abhängt.
Aber ich habe bemerkt, das in vielen Fällen das was unter der Wurzel steht , dann auch die Substiution ist.

Also ich meinte die substitution der Wurzel(Inhalt) und nicht die Substitution nur vom Inhalt.
Eventuell habe ich dich auch nur falsch verstanden.

30.06.2013, 19:48

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich meine auch die Substitution der Wurzel(Inhalt).

30.06.2013, 19:51

Jens11

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich werde es mal probieren.

30.06.2013, 19:53

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern doch

ich habe es schon mal durchgerechnet , wir können ja dann mal bestimmte Schritte und das Ergebnis vergleichen.

30.06.2013, 19:54

Jens11

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, vielleicht kannst du mir auch hiermit helfen.

Ich muss folgende Funktion integrieren

f(x)=x^4/(x^10(1+x^10))

Meine Idee: Nullstellen berechnen und als Partialbrüche darstellen und dann integrieren.

Mein Problem: Anscheinend gibt es zuviele Brüche um das schritlich zu machen, gibt es da eventuell einen Trick `?

30.06.2013, 19:59

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Lautet die Aufgabe so ?

Integral $\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{x^{10} (1+x^{10} )} \end{eqnarray*}$ dx

30.06.2013, 20:01

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

30.06.2013, 20:07

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe sofort, das die Substitution

$\begin{eqnarray*} z= x^{5} \end{eqnarray*}$

zum Erfolg führt.

30.06.2013, 20:10

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, was wäre wenn zähler/nenner gekürzt wären? Ich muss zugeben, dass diese Subs. bereits als Hinweis da stand. Auf den ersten Blick etwas richtig zu machen wäre meiner Meinung beimir nicht möglich.

30.06.2013, 20:13

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei nicht traurig, sowas ist Erfahrungssache , und die Vorstellung , Kenntnis , wie hängen der Integrand und die Ableitung zusammen.

30.06.2013, 20:24

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Sei nicht traurig, sowas ist Erfahrungssache , und die Vorstellung , Kenntnis , wie hängen der Integrand und die Ableitung zusammen.

Stimmt, da musst du wohl recht haben. Naja, danke nochmals! Ich werde dann mich nochmal eventuell melden wenn es probleme geben sollte.

mfg

30.06.2013, 20:27

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gern doch, ich habe beide Aufgaben bereits fertig.

30.06.2013, 20:48

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte da mal eine frage bzgl. der ersten Aufgabe. Wenn ich sqrt(Inhalt) substituiere folgt mithilfe nicht kompletter Substitution:

Darf ich jetzt sqrt(1+x^2) kürzen obwohl ich nicht komplett subtituiert habe? Und wenn ja, warum darf ich das ohne die verbliebenen Variablen mitzusubtitionieren?

$\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{5}} ^{\sqrt{10}} \! \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1 }*\sqrt{1+x^{2} } } * \frac{dt*\sqrt{1+x^{2} }}{\sqrt{t^{2}-1 }} \, dx \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 20:50

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, es soll heißen

$\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{5}} ^{\sqrt{10}} \! \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1 }*\sqrt{1+x^{2} } } * \frac{dt*\sqrt{1+x^{2} }}{\sqrt{t^{2}-1 }} \, \end{eqnarray*}$ [/quote]

also ohne dx

30.06.2013, 20:59

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:
damit wir beide von einer Aufgabe sprechen, geht es um:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{ x \sqrt{1+x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ja, was genau hast Du substtuiert?

30.06.2013, 21:06

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau es geht um dir, dabei habe ich t=Wurzel(1+x^2) subtituiert, wobei die Obergrenze 3 und die Untergrenze 2 war.

Und mir fällt gerade auf das es eine Schwachsinnige Frage war, da ja die beiden von mir genannten Terme sowies t sind und sich rauskürzen, also sollte der verbliebene Term

$\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{5}} ^{\sqrt{10}} \! \frac{1}{\sqrt{t^{2}-1 } } * \frac{dt}{\sqrt{t^{2}-1 }} \, \end{eqnarray*}$

lauten. Jetzt kann ich t=sin(u) subtituieren wenn das richtug ist.

30.06.2013, 21:13

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{t^2-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es hier 2 Möglichkeiten:

a) Weg über tan h oder
b) Weg über ln , dann mit PBZ

30.06.2013, 21:40

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf folgendes:

Woe liegt den mein Fehler?

mfg

30.06.2013, 21:46

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist alles richtig.

Was ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t^{2 }-1 } *\sqrt{t^2-1} \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 21:55

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

Binomische Formel oder? Ich weiss es leider nicht. Ich weiss das ich das quadrat über eine Wurzel reinziehen kann in die Wurzel und diese siich auflöst. Hier bin ich mir etwas unsicher.

30.06.2013, 21:57

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind Wurzelgesetze.

also es gilt allgemein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} *\sqrt{a} =a \end{eqnarray*}$

Was folgt nun daraus für das Integral?

30.06.2013, 22:50

Jens12

Auf diesen Beitrag antworten »

tatsächlich 1/(t^2 -1)

Danke!

Ich probier es jetzt mal weiter.

30.06.2013, 22:52

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du erkennst, das das fast ein Grundintegral ist, bist Du in wenigen Momenten fertig, ansonsten geht das über die PBZ .