Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion

30.06.2013, 18:13

JvD

Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion

Hallo,

kurze Frage zu folgendem Beweis:

Sei f: C --> C eine ganze Funktion, also analytisch auf ganz C
zeige, dass gilt:

f zusätzlich bijektiv => f polynom vom grad 1

Meine Ideen:
Kann man zeigen, dass transzendente Funktionen eben nicht bijektiv sind, und dann den Grad 1 zeigen?
Oder soll ich besser f(1/z) betrachten, z.B. zeigen, dass die Singularität in 0 ein Pol 1. Ordnung sein muss?
Komme nicht weiter mit meinen Ansätzen..

Was meint Ihr? Freue mich auf Eure Antworten!

30.06.2013, 19:30

Mulder

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RE: Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion
Die Injektivität kannst du widerlegen, wenn du f mal als transzendent annimmst. Dann ist ja für jedes R größergleich 0 die Menge $\begin{eqnarray*} f(\mathbb C \setminus D_R(0)) \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Schau dir die Definition nochmal genau an, dann kommt dir vielleicht schon die richtige Idee.

Wenn du gezeigt hast, dass f ein Polynom sein muss, ist das mit Grad 1 dann schnell gemacht.

(mit D_R(0) meine ich die offene Kreisscheibe vom Radius R um den Nullpunkt, diese ist insbesondere auch ein Gebiet, beachte dies)

Edit: Vielleicht ein zusätzlicher Tipp, damit ersichtlich wird, worauf es hinauslaufen soll: Wenn f injektiv ist, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} f(\mathbb C \setminus D_R(0)) \cap f(D_R(0)) = \emptyset \end{eqnarray*}$

Das gilt es zu widerlegen, wenn f transzendent ist.

30.06.2013, 20:48

JvD

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RE: Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion
Ich habe leider keine richtige Definition einer transzendenten Funktion, es wurde lediglich auf dem Blatt erwähnt, dass dies eben kein Polynom ist!

30.06.2013, 21:12

Mulder

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RE: Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion
Ich meinte das hier:

Zitat:

Original von Mulder
Dann ist ja für jedes R größergleich 0 die Menge $\begin{eqnarray*} f(\mathbb C \setminus D_R(0)) \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \forall z_0\in \mathbb C \exists z_k \in \mathbb C \, , \, |z_k|\geq R : f(z_k) \to z_0 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ eine Folge komplexer Zahlen ist. Bedeutet: Du kannst eine Folge $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ komplexer Zahlen konstruieren, für die alle Folgenglieder außerhalb dieser Kreisscheibe liegen, so dass aber die Folge $\begin{eqnarray*} f(z_k) \end{eqnarray*}$ grade gegen $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Insbesondere auch für solche $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , die innerhalb von $\begin{eqnarray*} f(D_R(0)) \end{eqnarray*}$ liegen, ist das möglich...

Und damit ist man schon fast fertig. Denn da $\begin{eqnarray*} D_R(0) \end{eqnarray*}$ ein Gebiet ist, ist nach dem Satz von der Gebietstreue auch $\begin{eqnarray*} f(D_R(0)) \end{eqnarray*}$ ein Gebiet, insbesondere also offen...

30.06.2013, 21:19

JvD

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ok, das ist mir klar - aber wo verwende ich hier, dass es sich bei f um eine transzendente funktion handelt?

Edit:
Die These "f(C/K(0,R)) liegt dicht in C, wenn f transzendent" verwendest du.
Woher hast du das? Ich habe keine solche Definition gefunden.. auch wenn es logisch klingt.

30.06.2013, 21:23

Mulder

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RE: Funktionentheorie, Bijektiv, ganze (transzendente) Funktion
Wäre f ein Polynom, würde das hier

Zitat:

Original von Mulder
Dann ist ja für jedes R größergleich 0 die Menge $\begin{eqnarray*} f(\mathbb C \setminus D_R(0)) \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

gar nicht gelten.

30.06.2013, 21:26

JvD

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Okey, soweit so gut!
Ich führe den Beweis nun einmal aus, sage dann, wenn ich nochmal Hilfe brauche!
Vielen Dank für Deine Hilfe! smile

30.06.2013, 21:31

Mulder

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Also irgendwie so einen Satz müsst ihr doch gehabt haben, vielleicht irgendwie etwas anders fornuliert? Casorati-Weierstraß für ganz-transzendente Funktionen?

Es kann natürlich nicht angehen, dass du irgendwas einfach so benutzt, was ihr noch überhaupt nicht hattet.

Edit: Also wohl dem, der das auf Anhieb logisch findet. Ich musste mich damals wohl erst durch einen Beweis davon überzeugen lassen. Augenzwinkern

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