wegzusammenhängend, stetige Funktion, Beweis

30.06.2013, 21:15	mrdo87	Auf diesen Beitrag antworten »
wegzusammenhängend, stetige Funktion, Beweis Hallo, ich soll folgende Aussage beweisen/widerlegen. Seien (X,d) und (Y,p) metrische Räume und f: X -> Y stetige Funktion. Ist nun X wegzusammenhängend, dann ist auch $\begin{eqnarray} f[X]=\left\{ f(x):x\in X\right\} \end{eqnarray}$ wegzusammenhängend. Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Die Definition laut Skript: Ein metrischer Raum (X,d) heißt wegzusammenhängend, wenn es für 2 Punkte x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ X einen Weg $\begin{eqnarray} \gamma : [a,b] \rightarrow X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma(a)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(b)=y \end{eqnarray}$ gibt. Eigentlich sollte das meiner Meinung nach wegen der Stetigkeit von f auch für Y gelten. Aber wie zeige ich das? Hoffe ihr könnt mir ein paar hilfreiche Tipps geben.
30.06.2013, 22:25	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm zwei Punkte $\begin{eqnarray} x,y\in f(X) \end{eqnarray}$ her. Um die Aussage zu beweisen, braucht man einen stetigen Weg, der x mit y verbindet. Schau dir vielleicht zwei Urbilder $\begin{eqnarray} a\in f^{-1}(x), b\in f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ an...was kannst du über diese Punkte sagen?

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