Gleichheit von Polynomen (Thema Einheitswurzeln)

30.06.2013, 21:50	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Polynomen (Thema Einheitswurzeln) Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist: In $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} X^{mp^{n}}-1=\left(X^{m}-1\right)^{p^{n}} \end{eqnarray}$ . Meine Überlegung ist bis jetzt wie folgt: Die beiden Polynome sind normiert und haben denselben Grad, d.h. wenn ich zeigen kann, dass sie dieselben Nullstellen besitzen, bin ich fertig. Ich müsste ja irgendwie folgern: $\begin{eqnarray} \xi^{mp^{n}}=1 \Rightarrow \xi^{m}=1 \end{eqnarray}$ , leider gelingt mir das nicht. Für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ kann ich mit der Injektivität der Abbildung $\begin{eqnarray} a\mapsto a^{p} \end{eqnarray}$ argumentieren, aber das allgemeine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ stört. Kann ich da vielleicht mit Induktion was machen? Edit: Mir fällt glaube ich gerade selber auf: Wegen $\begin{eqnarray} \xi^{mp^{n}}=\left(\xi^{mp^{n-1}}\right)^p=\cdots \end{eqnarray}$ sollte sich das ganze doch einfach durchziehen?
30.06.2013, 22:34	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit Charakteristik $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ haben eine besondere Eigenart: Die Abbildung $\begin{eqnarray} K\to K,\quad a\mapsto a^p \end{eqnarray}$ ist additiv. Das gleiche gilt, wenn du $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ersetzt. Hattet ihr das vielleicht in der Vorlesung? Wenn nicht, solltest du dir das überlegen. (Tipp: Binomialformel) Hast du das verstanden, folgt die Behauptung mit einer sehr kurzen Induktion.
30.06.2013, 22:55	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Additivität der Abbildung haben wir auf einem vorherigen Zettel gezeigt. :-) Ist das so okay? $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ sind normiert und von demselben Grad. Da beide in $\begin{eqnarray} \bar{K}[X] \end{eqnarray}$ in Linearfaktoren zerfallen, genügt es zu zeigen, dass die Nullstellen identisch sind. Sei also $\begin{eqnarray} P(\xi)=0 \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} 1=\xi^{mp^{n}}=\left(\xi^{mp^{n-1}}\right)^{p}=\left(\left(\xi^{mp^{n-2}}\right)^{p}\right)^{p}=\cdots=\underbrace{\left(\left(\left(\xi^{m}\right)^{p}\right)^{p}\cdots\right)^{p}}_{n\text{-mal}}. \end{eqnarray}$ Nach Aufgabe 56 ist die Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto x^{p} \end{eqnarray}$ ein Automorphismus, insbesondere ist sie injektiv. Somit finden wir iterativ $\begin{eqnarray} \underbrace{\left(\left(\left(\xi^{m}\right)^{p}\right)^{p}\cdots\right)^{p}}_{n\text{-mal}}=1\Rightarrow\underbrace{\left(\left(\left(\xi^{m}\right)^{p}\right)^{p}\cdots\right)^{p}}_{(n-1)\text{-mal}}=1\Rightarrow\cdots\Rightarrow\xi^{m}=1, \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} Q(\xi)=0 \end{eqnarray}$ . Weitere Frage: Im nächsten Aufgabenteil ist die Frage, wieviele 12-te Einheitswurzeln es in $\begin{eqnarray} \bar{\mathbb{F}}_{2} \end{eqnarray}$ gibt. Wegen dem gerade gezeigten kann ich 12 darstellen als $\begin{eqnarray} 3\cdot 2^{2} \end{eqnarray}$ und mich somit auf die 3-ten Einheitswurzeln beschränken. Dann weiß ich dass es mind. eine und höchstens drei 12-te Einheitswurzeln gibt. Wie komme ich auf die genaue Zahl? Edit: Okay, über $\begin{eqnarray} \bar{\mathbb{F}}_2 \end{eqnarray}$ zerfällt $\begin{eqnarray} X^3-1 \end{eqnarray}$ natürlich in Linearfaktoren, d.h. es sollte genau drei geben? :-) Edit2: Wobei das ja auch kein Argument ist, die Linearfaktoren müssen ja nicht zwingend verschieden sein.
30.06.2013, 23:22	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, angenommen $\begin{eqnarray} a\in \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ ist Nullstelle von $\begin{eqnarray} X^3-1 \end{eqnarray}$ . Es gilt ja $\begin{eqnarray} D\left(X^3-1\right)=X^2 \end{eqnarray}$ d.h. wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mehrfache Nullstelle wäre, so würde folgen dass die Ordnung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein gemeinsamer Teiler von 2 und 3 ist, d.h. Ordnung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist 1 und somit $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ . Nun ist ja aber $\begin{eqnarray} (X-1)^2=X+1=(X-1)^3 \end{eqnarray}$ was dem Grad von $\begin{eqnarray} X^3-1 \end{eqnarray}$ widerspricht. D.h. es kann keine mehrfachen Nullstellen geben und somit gibt es genau drei 12-te Einheitswurzeln. Einwände? ;-)
01.07.2013, 00:17	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist unnötig kompliziert. Wenn die Additivität der Abbildung bekannt ist, ist der Rest leicht gemacht. Da braucht man nix mit Nullstellen ausrechnen. $\begin{eqnarray} X^{mp}-1=(X^{m})^p-1^p = (X^m-1)^p. \end{eqnarray}$ Das ist der Induktionsanfang. Klar, wie der Rest geht?

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