Vektornormen

30.06.2013, 22:19

Theend9219

Vektornormen

Ich soll folgende Ungleichung mithilfe der Vektornormen beweisen..

$\begin{eqnarray*} ||x||_{\infty} \leq ||x||_{2} \leq \sqrt{n}||x||_{\infty} \end{eqnarray*}$

Also ich kann das ja umschreiben ..

$\begin{eqnarray*} max |x_{i}| \leq \sqrt{(\sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{²})} \leq \sqrt{n} \dot max |x_{i}| \end{eqnarray*}$

wobei jeweils $\begin{eqnarray*} i=1, ..., n \end{eqnarray*}$

Aber so wirklich hilft mir das jetzt auch nicht weiter

05.07.2013, 18:18

Christian_P

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Hallo du,

ich denke, es läuft auf ein Abschätzen der Ungleichungen nach oben von links nach rechts hinaus.

Du könntest z.B. links anfangen und sagen, dass aus den n Komponenten des Vektors x das betragsmäßig größte ausgewählt wird. Zur Vereinfachung könnte man die gesamte Ungleichung quadrieren, aber vielleicht braucht man das auch nicht, dann wären die Wurzeln aber weg.

Der Fall Null für alle Komponenten wäre trivial.

jeder Term werde nun quadriert und die Ungleichung gelte dann immer noch.

Also ganz links sei die betragsmäßig größte Komponente (das Maximum) zum Quadrat genommen.

Ist auch nur eine weitere Komponente des Vektors x ungleich Null, so muss die 2-Norm einen größeren Wert haben, denn es wird eine Zahl $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ addiert, sonst gilt die Gleichheit...

Vielleicht hilft das etwas. Ist nur ne Idee smile

Gruß

13.07.2013, 17:36

Ändru

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Eigentlich musst du das so machen....
Du musst die Ungleichung in 2 auflösen (Übrigens ist das der Satz der Norm äquvivalenz)...

1) Es gilt:

$\begin{eqnarray*} {||x||}_{\infty} = max |x_i| \leq \sum |x_i| = \sum sign(x_i)x_i \leq \sum {x_i}^2 = {||x||}_2 \end{eqnarray*}$

das war die erste Ungleichung. Und für die 2te analog

$\begin{eqnarray*} {||x||}_2 = \sum {x_i}^2 {\leq}_{x = max|x_i|} \leq \sum x = x \cdot \sum 1 = x \cdot n = n \cdot {||x||}_{\infty} \end{eqnarray*}$

nun noch zusammenbasteln und du bist fertig smile

also:

$\begin{eqnarray*} {||x||}_{\infty}^2 \leq {||x||}_2^2 \le n \cdot {||x||}_{\infty} ^2 \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen und fertig:

$\begin{eqnarray*} {||x||}_{\infty} \leq {||x||}_2 \leq \sqrt{n} \cdot {||x||}_{\infty} \end{eqnarray*}$

grüße

13.07.2013, 17:38

Theend9219

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Hey Ändru,
danke! Das ist ja logisch ... Wenn man es erst einmal sieht hihi Ich bedanke mich .. und bei Christian_P

smile

Ich häte ja auch einfach mal mit den Definitionen arbeiten können aber irgendwie war mir ein schleier vor den Augen ..

13.07.2013, 17:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ändru
$\begin{eqnarray*} \sum sign(x_i)x_i \leq \sum {x_i}^2 = {||x||}_2 \end{eqnarray*}$

Woher kommt denn diese Abschätzung? Und die Gleichheit am Ende ist falsch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {||x||}_2 = \sum {x_i}^2 {\leq}_{x = max|x_i|} \leq \sum x \end{eqnarray*}$

Auch hier ist die Gleichheit falsch und die Ungleichung ist wieder nicht begründet werden und ebenfalls falsch.

13.07.2013, 19:09

Ändru

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Mit Sicherheit!

also nochmal.... ich habe bei einem eine Potenz vergessen... ja das ist richtig!

1. Ungleichung

$\begin{eqnarray*} {||x||}_{\infty}^2 = max|x_i| \leq \sum |x_i| = \sum sign(x_i) x_i \leq \sum {|x_i|}^2 = {||x||}_{2}^2 \end{eqnarray*}$

Begründung: Die Summe über alle $\begin{eqnarray*} |x_i| \end{eqnarray*}$ ist mindest gleich oder sogar größer als das betragliche Maximum selbst!

2. Ungleichung

$\begin{eqnarray*} {||x||}_{2}^2 = \sum |x_i|^2 \leq_{x = max |x_i|} \sum |x|^2 = |x|^2 \sum 1 = n |x|^2 = n {||x||}_{\infty}^2 \end{eqnarray*}$

Begründung: Wenn nur das betragliche Maximum einer Reihe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal summiert wird ist das mindestens gleich oder in der regel größer als die Summe der einzelnen $\begin{eqnarray*} |x_i| \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wurde definiert als das betragliche Maximum der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$

Es unterlief mir ein kleiner Fehler... sorry!

Gruß Andre

13.07.2013, 19:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Ändru
$\begin{eqnarray*} {||x||}_{\infty}^2 = max|x_i| \leq \sum |x_i| = \sum sign(x_i) x_i \leq \sum {|x_i|}^2 = {||x||}_{2}^2 \end{eqnarray*}$

Nun ist die erste Gleichheit falsch.
Und die zweite Ungleichung ist immer noch falsch und nicht erklärt worden.

13.07.2013, 19:33

Ändru

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Eigentlich nicht Augenzwinkern

aber wenn du meinst dann kannst du ja sicherlich erklären warum das falsch sein sollte

13.07.2013, 19:36

Che Netzer

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Wo bleibt denn das Quadrat?
Es ist
$\begin{eqnarray*} \lVert x\rVert_\infty^2=\left(\max_{i=1,\dotsc,n}\lvert x_i\rvert\right)^2\,. \end{eqnarray*}$

13.07.2013, 19:55

Ändru

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Da magst du wohl recht haben, dennoch ist der Schluss richtig weil das quadratische Maximum immernoch mindestens gleich oder kleiner ist als die Summe der Quadrate

13.07.2013, 20:27

Che Netzer

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Natürlich ist der Schluss richtig; der soll ja gezeigt werden.
Aber der Weg zur Lösung ist falsch.

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