Nullstellen, Polstellen, Lücken und Asymptoten von Funktion - Seite 2

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steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann so?

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup.
Bring die 10 aber auch auf die linke Seite. Mache dann eine Polynomdivision mit x=-1.
Das wäre dann eine Nullstelle dieses Polynoms. Ist es auch Nullstelle der Funktion?
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

So, oder wie meintest du x=-1?

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Überdenke deinen Divisor nochmals.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur -1 ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte dir schon vorweggenommen, dass eine Nullstelle x=-1 ist. D.h. wenn du x=-1 einsetzt, muss der Divisor 0 werden. Ist das der Fall?
 
 
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich x=-1 einsetze wird die Gleichung =0

Oder was meinst du? Der Divisor kann bzw. darf doch nicht 0 sein...
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du teilst doch durch eine Nullstelle...Das ist der Sinn der Polynomdivision
-> Dir ist die eine Nullstelle bekannt, drum teilst du durch diese um die weiteren Nullstellen zu finden.
Deswegen darf der Divisior durchaus 0 werden. Nur nicht zum Zeitpunkt der Division. Das aber ist dir wie gesagt bewusst und der Grund der Division.

Du hast die Nullstelle x=-1 gefunden. Du teilst also durch den Linearfaktor dieser Nullstelle...d.h. das sollst du, machst du aber nicht.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das Ergebnis der Division

Edit Equester: Nutze bitte / statt : als Zeichen der Division.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »



man sollte hier scheinbar kein : benutzen sonst spinnt Latex smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nope, auch das ist es nicht. Du teilst hier nur durch einen Wert. Wir sind aber daran gar nicht interessiert.




ist das von mir gesuchte -> Setze x=-1 ein und du siehst, dass der Divisor 0 wird...wie gefordert.


Ich bin nun für ne Weile weg. Deswegen noch 1-2 Tipps zum Weitermachen Augenzwinkern .

-> Wundere dich nicht über das Ergebnis. Du wirst nun eine Funktion zweiten Grades erhalten, die keine Nullstelle besitzt. Die bereits gefundene Nullstelle x=-1 kann keine solche sein, da sie nicht im Definitionsbereich liegt (beachte den Nenner des Bruchs in der Originalfunktion).


Bis dann und viel Spaß noch,
Wink
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

so?



Weiß jetzt trotz deiner Tipps nicht weiter....
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.
Wende nun die pq-Formel auf das quadratische Polynom an Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nicht die Gleichung mit -1 Multiplizieren?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Anderweitig kannst du die pq-Formel ja nicht anwenden Augenzwinkern .
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wegen ist die Berechnung nicht durchsetzbar, oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es Augenzwinkern .

Und da x=-1 nicht zum Definitionsbereich gehört, ist das ebenfalls keine Nullstelle.
Wir haben also überhaupt keine Nullstelle.


(Bin essen)
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es Polstellen und Lücken bzw. eine Polstelle und Lücke?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das siehst du direkt selbst -> Wir haben Probleme mit dem Nenner. Der darf ja nicht 0 werden. Das ist prädestiniert für Polstellen, bzw. Lücken.
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Könne wir hier überhaupt eine Nennernullstelle bestimmen? x darf ja nur nicht 1 sein, oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nenner lautet x^2-1.
Ist x=1 die einzige Problemstelle?
Mit was hatten wir den gerade Probleme und hatten außerdem nicht als Funktionsnullstelle deklariert?
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit -1 ....
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.




Nochmals zusammengefasst:

Normal beginnt man damit die Definitionsmenge zu bestimmen. Wir schauen uns an, was erlaubt ist und was nicht. In unserem Fall ist das D=R\{-1;1}. Wenn wir uns dann den Nullstellen der Funktion widmen, wie wir das angefangen haben, haben wir durch Umformungen unter anderem die Nullstelle x=-1 erhalten. Da sie nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist diese letztlich keine Nullstelle. Die weitere Umformung hat ja auch zu keinen weiteren Nullstellen geführt.

Bei der Polstellenuntersuchung hatten wir uns gerade den Nennernullstellen gewidmet. Für x=1 sollte die Sache klar sein. Wir haben eine Polstelle. Bei x=-1 hingegen sollten wir uns an die Zählernullstellen erinnern. Da war die x=-1 bereits dabei. Das bedeutet für uns, dass man diese Nullstelle theoretisch kürzen könnte. Das führt dazu, dass wir keine Polstelle haben, aber eine hebbare Definitionslücke.

Zuletzt würde ich mich nun den Asymptoten widmen (was wir mit y=x-4 bereits gemacht hatten).


Mehr brauchts ja nicht? Oder habe ich etwas vergessen?
Die Sache klar? smile
steveo123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne alles komplett smile

Muchas gracias!!! Prost
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne smile ,

Wink
Marco12. Auf diesen Beitrag antworten »

@Equester wie kommt man darauf .Also auf die 3 ? kürz ich eventuell falsch oder überseh ich was ?


Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Fragen wir mal so...wie kürzt du und was bleibt übrig?
Wie verhält sich jenes, das übrig bleibt, wenn man das Ganze unter dem Limes betrachtet?
Marco12. Auf diesen Beitrag antworten »

Equester da ich noch nichts mit Limes hatte ...



kann ich hier ja das x² kürzen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist es richtig, aber nun spielt eben doch der Limes eine Rolle.
Du hast doch vor dem ersten Gleichheitszeichen den Limes stehen, danach nicht mehr. Du hast ihn also verwendet Augenzwinkern . Tu das auch.
Marco12. Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt hatte ich es noch nicht darum frag ich dich ja smile

Kann ich jetzt überall wo x steht 0 einsetzten und dann hätte ich ja 3/1 :> stimmt das so ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Aso. Dachte das bezog sich auf deinen Rechenvorgang. Dass du den Limes noch nicht angewandt hattest^^.


Nun salopp gesagt bedeutet der Limes vorne dran, dass du die Variable (bei uns x) gegen die "Zahl" eintauschst. Bei uns also unendlich. Dabei bereitet die "Zahl" dann meist Probleme und kann direkt nicht eingesetzt werden (deswegen ja die Limesschreibweise).

Wenn du jetzt also überall das x durch unendlich ersetzt, hast du:



Dabei ist (setze zum Beispiel statt 10000 ein Augenzwinkern .)

Letztlich verschwinden also die jeweils beiden letzten Summanden und übrig bleibt 3/1=3.


Beachte bitte, dass das mit dem Limes sehr fragwürdig, aber ich denke hier ausreichend, formuliert ist. Genaueres wirst du dann in der Schule erfahren smile .
Marco12. Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausfürhliche Erklärung smile

Jetzt hab ich ich auf Wikipedia dieses beispiel gefunden



Also kann ich hier dann auch das x durch unendlich ersetzten oder vorher wieder kürzen ?

Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht Unterschied:





Jetzt siehst du auch was ich mit "Problemstelle" meinte. Die 1 selbst kann man im Wikibeispiel ja nicht einfach einsetzen, da man durch 0 teilen würde. Geschickterweise kann man hier aber noch kürzen. Dann einfach das x durch 1 ersetzt und das ganze passt.

Das ist natürlich nur ein sehr simples Beispiel und meine obige Ausführung passt da ganz gut. Wenn man aber nicht so sauber kürzen kann, wirds etwas komplizierter Augenzwinkern . Das sei aber dann deinem Lehrer überlassen.
Marco12. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann ist es ja doch "relativ einfach " ^^

Vielen Dank smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt...im obigen Fall ja^^. Kann aber auch anders aussehen...


Gerne,
Wink
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