Nullstellen, Polstellen, Lücken und Asymptoten von Funktion

30.06.2013, 22:39

steveo123

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Nullstellen, Polstellen, Lücken und Asymptoten von Funktion

Hallo,

Bei der Aufgabe :

Untersuchen Sie die Nullstelle, Polstelle, Lücke und Asymptote der folgenen Funktion

$\begin{eqnarray*} y=\frac{3x^2-2x-1}{x^2-x-2} \end{eqnarray*}$

Wie Komme ich auf die Nullstelle(n) bzw. wie kann ich hier die pq-Formel anwenden? Kann man hier die pq überhaupt benutzen oder Polynomdivision?

30.06.2013, 22:56

Equester

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Ich weiß nicht, ob du von mir heute schon genug hast^^. Wenn ja, gib Bescheid *hust*.

Sonst aber mein Vorschlag für die Nullstellen:
Es ist y=0 zu setzen und allein der Zähler ist erstmal interessant. Nutze hier gerne die pq-Formel.

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30.06.2013, 22:57

Adramelec

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Hmm, wenn du die Nullstellen suchst.

Dann würde ich mal die Funktion null setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tue das und sehe an, wie du sie lösen kannst smile

smile

EDIT: Oh, da war jemand schneller Big Laugh

Big Laugh

30.06.2013, 22:58

Theend9219

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Edit: Er sollte aber noch beachten das er den Zähler etwas umstrukturieren muss um die pq-Formel anzuwenden. Nur als Tipp am Rand Wink

Wink

30.06.2013, 23:00

Adramelec

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So... Wenn du hier postest, poste ich aber auch nochmal Big Laugh

Big Laugh

Jemand der Kurvendiskussionen macht, sollte sowieso die "große Lösungsformeln" können.

Oder zumindestens wissen, wie man sie in den Taschenrechner eintippt.. Irgendwann braucht mans ja sowieso Big Laugh

Big Laugh

30.06.2013, 23:01

Equester

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Danke Shelly...da wollte ich sehen, ob er stolpert oder nicht. Auch aus Fehlern lernt man Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Erst recht, wenns dann en Rüffel von mir gibt.

30.06.2013, 23:11

Theend9219

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Tut mir leid! Übrigends gefällt mir die Umschreibung von Dir mit dem Rüffel ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schönen Abend noch!

LG Shelly

30.06.2013, 23:12

steveo123

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Ne von dir nicht genug...aber von Mathe... smile

smile

So ich habs mal gerechnet

$\begin{eqnarray*} 0=3x^2-2x-1 = x^2-\frac{2}{3}x-3 \end{eqnarray*}$

in pq

$\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2} =-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2-q } = -\frac{-\frac{2}{3} }{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}}{2} \right)^2+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} = \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9} +3}=\frac{1}{3} \pm \frac{2\sqrt{7} }{3}=x_{1}=\frac{1+2\sqrt{7} }{3}= 2,097 ; x_{2}=\frac{1-2\sqrt{7} }{3}=-1,43 \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 23:16

Theend9219

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Ich bin auf den Rüffel gespannt ;D

30.06.2013, 23:18

Equester

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@Theend: Willste dir auch einen abholen? Big Laugh

Big Laugh

Ich hoffe du bist mit folgendem Verfahren (siehe unten) einverstanden^^.

@steveo: Nah, einen Rüffel gibts nicht. Das eigentlich Wichtige wurde berücksichtigt -> Vor dem x² hat eine 1 zu stehen.
Meine Unverständnis sei aber hiermit zum Ausdruck gebracht: Du dividierst den zweiten Summanden durch 3 (das ist korrekt), den letzten Summanden multiplizierst du aber mit 3 verwirrt

verwirrt

?

30.06.2013, 23:19

steveo123

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Oh Gott..... Ist schon spät smile

smile

Ich mache es nochmal...

MUSS da ne 1 vor das x^2?

30.06.2013, 23:20

Theend9219

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@Equester: Nein, lieber nicht. Ich kann ja nicht erahnen, ob du bei mir ähnliche oder gar grausamere "Rüffel" gibst... Aber mit dem von steveo123 bin ich ganz einverstanden ;D Wink

Wink

30.06.2013, 23:24

steveo123

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Soooo, nach der KLEINEN Korrektur

$\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} =\frac{1}{3} \pm \frac{2}{3} =x_{1}=\frac{1}{3} + \frac{2}{3}= 1 ; x_{2}=\frac{1}{3} - \frac{2}{3}=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

30.06.2013, 23:24

Equester

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Zitat:

Original von steveo123
MUSS da ne 1 vor das x^2?

Willst du die pq-Formel anwenden, dann ja. Kennst du auch die abc-Formel ist das nicht nötig.

Edit: Yup, die Nullstellen sind nun korrekt Freude

Freude

.

30.06.2013, 23:29

steveo123

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Wie gehts jetzt weiter?

Was ist die abc Formel?

30.06.2013, 23:31

steveo123

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Ahhhh, schon gut smile

smile

Bin gerade mit den Beträgen durcheinander gekommen smile

smile

Wieso habe ich nur von dem Zähler die Nullstellen rechnen müssen?

30.06.2013, 23:33

Equester

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Wie es weitergeht? Das hoffte ich von dir zu erfahren.
Mit was willst du denn weitermachen und wie lautet deine Idee diesbezüglich?

Für die Mitternachtsformel/abc-Formel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternacht...er_a-b-c-Formel

Normal lernt man nur eine der beiden. Kennst du diese nicht, ist das nicht weiters schlimm. Die pq-Formel ist halt ein Spezialfall der abc-Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

30.06.2013, 23:34

Equester

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Zitat:

Original von steveo123
Wieso habe ich nur von dem Zähler die Nullstellen rechnen müssen?

y=a/b=0 |*b

a=0*b

a=0

Der Nenner spielt also keine Rolle Augenzwinkern

Augenzwinkern

. D.h. vorerst. Schauen wir uns noch die Nennernullstellen an.
Die brauchst ohnehin für Polstelle und eben Definitionslücken.

30.06.2013, 23:39

steveo123

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Die Nullstellen vom Nenner sind x1= 2 und x2=-1

30.06.2013, 23:42

Equester

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Das ist richtig.

Da nun Zählernullstelle und Nennernullstelle nicht übereinstimmen, haben wir schon mal keine Definitionslücke. Alle Nennernullstellen sind Polstellen!

Willst/musst du eine Aussage über die Art der Polstelle machen?

(Den Definitionsbereich kann man ja nun auch festlegen, wenn man lustig ist^^)

30.06.2013, 23:44

steveo123

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Warum sind die Nennernullstellen die Polstellen? Stimmt laut Lösung smile

smile

Ne Gott sei dank muss die Art nicht bestimmt werden.

30.06.2013, 23:47

Equester

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Nennernullstellen sind jene Stellen die nicht im Definitionsbereich enthalten sind. Es sind die "Problemstellen". Berücksichtige, dass das nichts anderes ist als a/0, was ja verboten ist.
Deshalb -> Nennernullstellen = Polstellen (solange es keine hebbare Definitionslücke ist)

30.06.2013, 23:52

steveo123

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Ok verstehe smile

smile

Asymptoten berechenen über den Grenzwert?

30.06.2013, 23:53

Equester

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Zumindest für die waagerechte Asymptote, ja.

30.06.2013, 23:55

steveo123

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Und wir brauchen hier nur die waagerechte?

01.07.2013, 00:02

Equester

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Das müsstest du besser wissen als ich^^.
Es gibt auch senkrechte Asymptoten. Die haben wir aber mehr oder weniger schon bestimmt. Das sind die bei den Polstellen.

01.07.2013, 00:09

steveo123

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Hmm

In der Lösung steht das so : $\begin{eqnarray*} y_{AS}(x)=3 \end{eqnarray*}$

Also scheinbar nur die waagerechten. Frag mich nicht warum..

$\begin{eqnarray*} y=\lim_{x \to \infty } \frac{3x^2-2x-1}{x^2-x-2}= \lim_{x \to \infty } \frac{x^2(3-\frac{2}{x} -\frac{1}{x^2}) }{x^2(1-\frac{1}{x} -\frac{2}{x^2}) }=3 \end{eqnarray*}$

01.07.2013, 00:13

Equester

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Sehr gut, das ist richtig.

Und ja, ist beides möglich. Kommt auf das Lehrbuch drauf an. Die einen bestehen auf beides, die anderen geben sich mit der waagerechten zufrieden.

01.07.2013, 00:18

steveo123

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Alles klar. Hier schon mal vielen lieben Dank für deine Hilfe!

Freude

Freude

01.07.2013, 00:25

Equester

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Gerne

Augenzwinkern

.

01.07.2013, 15:15

steveo123

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Wie ist das denn hier? Muss man doch erstmal irgendwie umformen wenn man die Nullstellen berechnen will, oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-4+\frac{6x+6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

01.07.2013, 15:19

Equester

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So ist es.

01.07.2013, 15:30

steveo123

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Also die Asymptote ist doch schonmal $\begin{eqnarray*} x-4 \end{eqnarray*}$ oder?

Wie soll ich die umformen?

01.07.2013, 15:32

Equester

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Yup, das ist die Asymptote.

Nun es gilt ja f(x)=0. Versuche nach x aufzulösen.

01.07.2013, 15:45

steveo123

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Kommt da $\begin{eqnarray*} x=\frac{\sqrt{2} }{3} \end{eqnarray*}$ raus?

01.07.2013, 15:46

Equester

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Da hab ich was anderes.
Wie bist du vorgegangen?

01.07.2013, 15:47

steveo123

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Was kommt denn bei dir raus? Hab nach x aufgelöst...

01.07.2013, 15:54

Equester

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Na, wenn ich das jetzt auflöse ist die Sache ja langweilig Teufel

Teufel

.

Zeig mal die ersten zwei Schritte. Da wäre schon eine große Fehlerquelle.

01.07.2013, 16:01

steveo123

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Ja wäre zu einfach smile

smile

$\begin{eqnarray*} 0=x-4+\frac{6x+6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+4=\frac{6x+6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+4*(x^2-1) =6x+6 \end{eqnarray*}$

01.07.2013, 16:11

Equester

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Zitat:

Original von steveo123
Ja wäre zu einfach smile

smile

$\begin{eqnarray*} 0=x-4+\frac{6x+6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x+4=\frac{6x+6}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{red}(\color{black}-x+4\color{red})\color{black}*(x^2-1) =6x+6 \end{eqnarray*}$

Es wäre gelogen, wenn ich behaupten würde, den Fehler nicht erwartet zu haben^^.

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