Simpsonsche Regel

30.06.2013, 23:22

Fritz_Bube

Simpsonsche Regel

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich habe mal eine Frage zur Simpsonschen Regel.
Nach der Simpsonschen Regel wird ein Integral zwischen a und b in n gleich große Intervalle aufgeteilt.
Und nun mein Problem:

Ich habe ein Integral zwischen 0 und 10 und in diesen Bereichen habe ich 3 verschiedene Parabeln mit unterschiedlicher Integrallänge.

Meine Ideen:
Kann ich hierbei die 3 Parabeln separat betrachten und alle in je 2 gleich große Intervalle aufteilen? Das heißt: 3 Flächen mit jeweils 2 gleichgroßen Intervallen.

01.07.2013, 21:28

Tom92

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Hallo,

wenn ich die Simpsonregel hier nachlese, dann wird ein Intervall immer in zwei gleichgroße Teile geteilt, nicht in n. (Oder habt ihr eine andere Regel?)

http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonsche_Regel

Zur Sprache:

Zitat:

wird ein Integral zwischen a und b in n gleich große Intervalle aufgeteilt.

Ein Integral wird nicht in Intervalle aufgeteilt. Man kann ein Intervall in Intervalle aufteilen und man kann ein Integral über ein Intervall berechnen indem man das Intervall aufteilt und die Integrale über die Teilintervalle berechnet und summiert (Nichts für ungut, aber in der Mathematik muss man möglichst exakt formulieren)

Zitat:

Ich habe ein Integral zwischen 0 und 10 und in diesen Bereichen habe ich 3 verschiedene Parabeln mit unterschiedlicher Integrallänge.

Hier sind auch zwei sprachliche Fehler, die du sicher selber erkennst.

Zu deiner Frage: Wenn du ein Integral über ein Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ näherungsweise berechnen möchtest, kannst du das Intervall natürlich in drei (oder auch n) Teilintervalle unterschiedlicher Länge aufteilen und auf diesen Teilintervallen die Simpsonregel anwenden.
Wenn du den gemachten Fehler abschätzen willst, musst du dies natürlich pro Teilintervall machen und die Fehlerabschätzungen addieren.

Gruß Tom

01.07.2013, 22:34

Theend9219

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Hey Tom92,
wir haben zum Beispiel wiefolgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{h}{3} \cdot ((y_{0}+y_{m})+4(y_{1}+y_{3}+ ... +y_{m-1})+2(y_{2}+y_{4}+ ... +y_{m-2}) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} h= \frac{(b-a)}{m} \end{eqnarray*}$

wobei m die Integrale.

LG

02.07.2013, 19:10

Tom92

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Hallo,

in deiner Formel fehlen mindestens zwei Klammern und ein allgemeines Bildungsgesetz erkenne ich auch nicht.

Und was soll

Zitat:

wobei m die Integrale.

bedeuten?

Zu Näherungsformeln für Integrale, bei denen Polynome zur Approximation verwendet werden, findet man hier wissenswertes erklärt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln

Ich würde vermuten, dass dein Formelfragment zur abgeschlossenen Newton-Cotes-Formel mit $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ Stützstellen gehört (ich habe aber nichts nachgerechnet). Vielleicht auch zu einer mehrfach angewendeten Simpsonregel. (Das solltest du aber eigentlich selbst wissen)

Von der Simpsonregel spricht man bei 3 Stützstellen und Approximation durch eine Parabel.

Tom

02.07.2013, 19:18

Theend9219

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Diese Formel hatte ich bei einer Anwendung. Genau haben wir:

Ersetzt man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch das Lagrangesche Interpolationspolynom bezüglich der Knoten $\begin{eqnarray*} x_{0} = a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{1} = (\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = b \end{eqnarray*}$ , so erhält man die Simpson- Formel:

$\begin{eqnarray*} I_{2}{f} = \frac{b-a}{6} ( f(a)+4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)) \end{eqnarray*}$

mit den Gewichten $\begin{eqnarray*} w_{0} = w_{2} = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_{1} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ sowie den Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_{0} = a, x_{1} = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = b \end{eqnarray*}$ . Im vorliegenden Fall gilt für den Quadraturfehler

$\begin{eqnarray*} E_{2} (f) = I(f)-I_{2}(f) = \frac{1}{3!} \int_{a}^{b} f'''(\xi(x))(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}) dx \end{eqnarray*}$
.....

Ja die Klammersetzung muss ich noch korrigieren, tut mir leid ... Ich dachte m sei die Unterteilung des Intervalls in Teilintervalle ..
Integrale = Intervalle ( verschrieben ...)

Shelly..

02.07.2013, 20:02

Tom92

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OK! Das sieht wie Simpson aus. Was du vorher geschrieben hast, hatte mehr Stützstellen und war wohl was anderes.

Hast du noch irgendwelche Fragen oder Verständnisprobleme? (Sonst sollten wir das hier abschließen)

02.07.2013, 20:07

Theend9219

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Naja .. eigendlich bleibt da noch was .. Ich bin immer noch der Meinung das ich nicht unrecht hatte ... Ich meinte mit meiner Formel eigendlich DAS bei "Variante 2". Da sieht man das man 4 multipliziert mit den ungeraden Stützwerte , und 2 multipliziert mit den geraden Stützwerten ..

LG

02.07.2013, 21:38

Tom92

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Kein Widerspruch.

Wie ich schon vermutet hatte:

Zitat:

Original von Tom92Vielleicht auch zu einer mehrfach angewendeten Simpsonregel.

Es entspricht Variante 2 der summierten Simpsonschen Regel.

02.07.2013, 21:50

Theend9219

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Ja ... Okaay

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Simpsonsche Regel

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