Koordinatensystem für Koordinatentransformation bestimmen

30.06.2013, 23:24

Tobias1994

Koordinatensystem für Koordinatentransformation bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zu Koordinatensystem und Koordinatentransformationen.

Gegeben sind 5 Punkte PC_{K1}, PX_{K1}, PY_{K1}, PZ_{K1}, P_{K1} des R^{3} (im Koordinatensystem K1).
Dabei beschreiben 4 der Punkte (PC_{K1}, PX_{K1}, PY_{K1}, PZ_{K1}) ein neues Koordinatensystem K2. Mein Ziel ist es nun, die Koordinaten des 5. Punktes (P_{K1}) relativ zu diesem neuen Koordinatensystem K2 anzugeben. Ich brauche also eine Transformationsmatrix von K1 in K2.
Um diese zu berechnen brauche ich, soweit ich weiß, die Koordinaten der Punkte PC_{K1}, PX_{K1}, PY_{K1}, PZ_{K1}, PC_{K2}, PX_{K2}, PY_{K2} und PZ_{K2}.

Meine Frage wäre nun, ob es möglich ist, die Koordinaten der Punkte im PC_{K2}, PX_{K2}, PY_{K2} und PZ_{K2} herzuleiten.

Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich formuliert. Vielen Dank vorab für Hilfe zu dem Thema.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist $\begin{eqnarray*} PC_{K2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu setzen.

Für die restlichen Punkte hatte ich zunächst keine Idee. Wäre es eventuell möglich diese einfach so zu berechnen:
PX_{K2} = PX_{K1} - PC_{K1}
PY_{K2} = PY_{K1} - PC_{K1}
PZ_{K2} = PZ_{K1} - PC_{K1}
Ich bin mir aber nicht sicher, ob das wirklich passt. Gibt es Fälle in denen dies nicht funktioniert? Was passiert z.B. wenn die Koordinatenachsen nicht parallel sind (d.h. nicht nur eine Translation sondern auch eine Rotation des alten Systems stattfindet)?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt (LaTeX-Tags haben gefehlt)

04.07.2013, 00:37

Tobias1994

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Hat dazu keiner einer Idee oder habe ich mein Anliegen schlecht formuliert? Ich versuche gerne die Frage genauer zu beschreiben...
Eventuell könnte man den Beitrag auch nach Hochschulmathematik -> Lineare Algebra verschieben (ich war mir bei der Wahl des Forums nicht sicher, tut mir Leid wenn ich den falschen Bereich gewählt habe).

04.07.2013, 23:59

frank09

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RE: Koordinatensystem für Koordinatentransformation bestimmen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} PX_{K2} = PX_{K1} - PC_{K1}<br /> PY_{K2} = PY_{K1} - PC_{K1}<br /> PZ_{K2} = PZ_{K1} - PC_{K1} \end{eqnarray*}$

Wenn du damit die Koordinaten eines Punktes vom K1 ins K2 umrechnen willst, substrahierst du nur einen Vektor ( $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OPC_{K1}} \end{eqnarray*}$ ) und dafür brauchst du keine Matrix.

Vielleicht meinst du aber auch, dass du damit die neuen Koordinatenachsen(X',Y',Z') definieren willst:
$\begin{eqnarray*} X' = PX_{K1} - PC_{K1} <br /> Y'= PY_{K1} - PC_{K1}<br /> Z' = PZ_{K1} - PC_{K1} \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} PC_{K2}=0 \end{eqnarray*}$ und unter Beibehaltung der Einheitenlänge würde sich für $\begin{eqnarray*} P_{K1} \mapsto P_{K2}(x|y|z) \end{eqnarray*}$ folgende Umrechnung ergeben:

$\begin{eqnarray*} xX'_e+yY'_e+zZ'_e=P_{K1}-PC_{K1} \end{eqnarray*}$

Damit erhälst du ein LGS mit Translation, dass du über die inverse Matrix und die Verschiebung um $\begin{eqnarray*} PC_{K1} \end{eqnarray*}$ lösen kannst. Vorausgesetzt ist, dass X',Y' und Z' linear unabhängig sind.
Dabei sind die Koordinaten auf Einheitslänge normiert: $\begin{eqnarray*} X'_e=\frac{X'}{|X'|} \end{eqnarray*}$ , etc.

Es ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} PX_{K1} \mapsto PX_{K2}(|PX_{K1} - PC_{K1}| |0|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} PY_{K1} \mapsto PY_{K2}(0||PY_{K1} - PC_{K1}| |0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} PZ_{K1} \mapsto PZ_{K2}(0|0||PZ_{K1} - PC_{K1}|) \end{eqnarray*}$

Du kannst natürlich auch die Länge der Achsen X',Y',Z' als "1" definieren.

Dann hättest du
$\begin{eqnarray*} PX_{K1} \mapsto PX_{K2}(1|0|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} PY_{K1} \mapsto PY_{K2}(0|1|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} PZ_{K1} \mapsto PZ_{K2}(0|0|1|) \end{eqnarray*}$

und würdest das GLS dann mit nicht normierten Achsenvektoren lösen.

07.07.2013, 20:03

Tobias1994

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Vielen Dank für die Antwort, ich habe es nun so umgesetzt und es klappt bisher einwandfrei.

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