Differentialgeometrie, Weingartenabbildung bestimmen

01.07.2013, 01:36	Very	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie, Weingartenabbildung bestimmen Hallo, ich möchte folgende Aufgabe lösen: Bestimme alle elliptischen, hyperbolischen und parabolischen Punkte des Rotationstorus $\begin{eqnarray} T=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}\| z^2 + (\sqrt{x^2+y^2}-R^2)=r^2\} \end{eqnarray}$ Ich weiß wie der Rotationstorus aussieht und habe mir diesen skizziert (wie ein Donut^^) Die Definition für die entsprechenden Punkte lautet: Ein Punkt $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ ist - elliptisch, falls K(p)>0 (dabei ist K(p) die Gaußkrümmung - hyperbolisch, falls K(p)<0 - parabolisch, falls K(p)=0, d.h. $\begin{eqnarray} W_p=0 \end{eqnarray}$ . Außerdem kenne ich die Parametrisierung von T: $\begin{eqnarray} F(\varphi, \theta)=((R+r cos\theta)\cos \varphi, \quad (R+rcos \theta) \sin \varphi, \quad r sin \varphi)) \end{eqnarray}$ sowie die erste Fundamentalform von T $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (R+r cos \theta)^2) & 0 \\0 & r^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich muss also K(p) berechnen. Die Gaußkrümmung ist nach Definition $\begin{eqnarray} K(p)=det(W_P) \end{eqnarray}$ Also muss ich zunächst die Weingartenabbildung bestimmen. Und hier bekomme ich Probleme. Die Definition lautet: $\begin{eqnarray} W_p: T_pS \rightarrow T_pS, W_p = -d_pN \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} T_pS \end{eqnarray}$ die Tangentialebene und N das Normalenfeld. Ich habe nun versucht N(p) zu berechnen indem ich $\begin{eqnarray} F_1(u) x F_2(u) = r (R + r \cos \theta) \sin \varphi (\begin{pmatrix} \sin \varphi \sin \theta \\ cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta + \cos \varphi \sin \theta \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ sowie die Norm davon berechnet habe. Ich weiß jetzt aber nicht wie ich $\begin{eqnarray} d_pN \end{eqnarray}$ zu berechnen habe. Hierbei sollte ich ja eine Matrix erhalten, da ich ja danach die Determinante davon berechne. Aber wie stelle ich die Matrix dar?Und ich kann mir das ganze auch noch nicht geometrisch vorstellen. Was bedeutet die Weingartenabbildung? Kann ich an dem Bild des Rotationstorus erkennen, wo die jeweiligen Punkte sich befinden sollten (um. z.B. das Ergebnis zu überprüfen?) Alternativ könnte ich vllt über eine Formel vorgehen, die die zweite Fundamentalform und die Weingartenabbildung verknüpfen. Die habe ich aber nicht so ganz verstanden (und weiß auch nicht, ob ich sie hier anwenden kann), deshalb ist mein Lösungsansatz erst mal über den elementaren Weg.. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen. lg Very

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