Summe und Limes vertauschen

01.07.2013, 10:29

chris95

Summe und Limes vertauschen

Hi Leute,

ich wuerde gerne zeigen, dass ich folgende Summe und Limes vertauschen kann:

$\begin{eqnarray*} z=\lim_{n\to\infty} \sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k^n =\sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k \end{eqnarray*}$

Wobei x und y Nullfolgen sind und auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} x^n_k = x_k \end{eqnarray*}$ existiert. Ausserdem konvergiert auch die Summe fuer alle n. Der komplette Limes existiert auch.

Darf ich das machen? Hab schon an monotone und majorisierte Konvergenz gedacht, aber damit komm ich i-wie nicht weiter.

VG Christian

01.07.2013, 15:04

Che Netzer

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RE: Summe und Limes vertauschen

Zitat:

Original von chris95
ich wuerde gerne zeigen, dass ich folgende Summe und Limes vertauschen kann:

$\begin{eqnarray*} z=\lim_{n\to\infty} \sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k^n =\sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k \end{eqnarray*}$

Kannst du nicht.
Betrachte $\begin{eqnarray*} y_k=\frac1k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k^n=k\delta_{kn} \end{eqnarray*}$ .

01.07.2013, 16:22

chris95

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Okay, das ist eindeutig. Ich schreib mal die ganze Aufgabe hin:

Es sei y eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und fuer jede Nullfolge $\begin{eqnarray*} x \in c_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k \end{eqnarray*}$ existiert. Dann ist $\begin{eqnarray*} y\in l^1 \end{eqnarray*}$

Da dachte ich man koennte den Satz des abgeschlossenen Graphen verwenden um zu zeigen, dass der lineare Operator f:
$\begin{eqnarray*} f: c_0 \rightarrow \mathbb C\, ,\,\,\, x \rightarrow \sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und somit im Dualraum liegt. Aufgrund des Isomorphismus von c0 und l1 wäre dann y in l1.
Leider komme ich nicht weiter, bei dem Schritt wo ich zeigen moechte, dass f beschraenkt ist.

Ist das ueberhaupt des korrekte Ansatz?

01.07.2013, 16:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von chris95
Da dachte ich man koennte den Satz des abgeschlossenen Graphen verwenden um zu zeigen, dass der lineare Operator f:
$\begin{eqnarray*} f: c_0 \rightarrow \mathbb C\, ,\,\,\, x \rightarrow \sum_{k\in \mathbb N} y_k x_k \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und somit im Dualraum liegt.

Den Satz vom abgeschlossenen Graphen brauchst du da gar nicht, du kannst die Stetigkeit ganz direkt nachweisen.
Eine in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ konvergente Folge konvergiert ja nicht nur gliedweise, sondern gleichmäßig. Dann hat sie auch eine Majorante in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aufgrund des Isomorphismus von c0 und l1 wäre dann y in l1.

Eigentlich "aufgrund der Isomorphie von", wobei aber $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ natürlich nicht isomorph sind.

01.07.2013, 23:56

chris95

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Zitat:

Original von Che Netzer
Den Satz vom abgeschlossenen Graphen brauchst du da gar nicht, du kannst die Stetigkeit ganz direkt nachweisen.
Eine in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ konvergente Folge konvergiert ja nicht nur gliedweise, sondern gleichmäßig. Dann hat sie auch eine Majorante in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ .

Also meinst du dass dann die Folge $\begin{eqnarray*} (z_k^n)_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_k^n = y_k x_k^n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ liegt, da man leicht zeigen kann, dass y eine Nullfolge ist. Da $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ konvergent in c0 ist, so gilt: $\begin{eqnarray*} \sup_{n\in\mathbb N} ||x^n||_{\infty} < \infty \end{eqnarray*}$ . Da der Limes existiert, so existiert auch das Supremum und damit ist es eine Majorante, dann darf ich nach majoriserte Konvergenz tauschen.

Zitat:

Aufgrund des Isomorphismus von c0 und l1 wäre dann y in l1.

Eigentlich "aufgrund der Isomorphie von", wobei aber $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ell_1 \end{eqnarray*}$ natürlich nicht isomorph sind.[/quote]

Jop, ich meinte natuerlich auch: $\begin{eqnarray*} c_0^* \cong\ell^1 \end{eqnarray*}$

02.07.2013, 08:07

Che Netzer

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Ich meinte, dass für $\begin{eqnarray*} (x_k^n)_k\to(x_k) \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} (z^n)\in c_0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \lvert z^n\rvert\geq\lvert x_k^n\rvert \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Also einfach, dass konvergente Folgen in $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ stets von einer Nullfolge dominiert werden.

Dass diese eine konvergente Majorante bezüglich der Reihe darstellt, folgt dann aus der Voraussetzung.

03.07.2013, 14:16

chris95

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Wie immer Che.

Vielen Dank smile

Du bist mir immer eine grosse Hilfe.

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