Isomorphismus zu einem Quotientenraum

01.07.2013, 16:18

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Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Meine Frage:
Hallo,

wir haben gerade das Thema Quotientenräume angebrochen und direkt eine Aufgabe dazu bekommen. Gegeben ist ein nichtleeres Intervall $\begin{eqnarray*} I\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=\{f : I \to \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ der reelen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ sowie zu festem $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$ der Unterraum $\begin{eqnarray*} U=\{f\in V : f(x_0)=0 \} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll durch Angabe eins expliziten Isomorphismus $\begin{eqnarray*} V/U \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ isomorph ist.

Meine Ideen:
Nun, zu finden ist ein Isomomorphismus, d.h., ein bijektiver Homomorphismus. Doch ich habe um ehrlich zu sein keine Ahnung wie dieser Aussehen könnte.

Ich kann mir $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht vorstellen. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Liebe Grüße

01.07.2013, 16:47

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen genau dann in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ in derselben Äquivalenzklasse, wenn $\begin{eqnarray*} f-g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt – wenn also $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Eine Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [f]\in V/U \end{eqnarray*}$ ist dabei eindeutig durch $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Hilft dir das?

01.07.2013, 16:59

Spitzname:

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Ja,

ich konnte es inzwischen mit Hilfe des Homomorphiesatzes und unter Angabe einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi : V\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \mapsto f(x_0) \end{eqnarray*}$ lösen. Man beachte dazu $\begin{eqnarray*} U= ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Nun stellt sich die Frage, wie das ganze bei modifiziertem $\begin{eqnarray*} U = \{ f\in V : f(x_0)=f(x_1)=0 \} \end{eqnarray*}$ , bei festen $\begin{eqnarray*} x_0,x_1 \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \ne x_1 \end{eqnarray*}$ aussieht. Dieses $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ja der Schnitt zweier Mengen ... hilft mir das?

01.07.2013, 17:02

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Spitzname:
ich konnte es inzwischen mit Hilfe des Homomorphiesatzes und unter Angabe einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi : V\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \mapsto f(x_0) \end{eqnarray*}$ lösen. Man beachte dazu $\begin{eqnarray*} U= ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber streng genommen keine explizite Angabe des Isomorphismus.

Zitat:

Nun stellt sich die Frage, wie das ganze bei modifiziertem $\begin{eqnarray*} U = \{ f\in V : f(x_0)=f(x_1)=0 \} \end{eqnarray*}$ , bei festen $\begin{eqnarray*} x_0,x_1 \in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \ne x_1 \end{eqnarray*}$ aussieht. Dieses $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ja der Schnitt zweier Mengen ... hilft mir das?

Wobei? Was willst du mit diesem $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ machen?

01.07.2013, 18:19

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che NetzerDas ist aber streng genommen keine explizite Angabe des Isomorphismus.

Das sollte auch gar keine Angabe des Isomorphismus sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieser lautet $\begin{eqnarray*} \varphi' : V/ker(\varphi)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f+ker(\varphi)\mapsto \varphi(f) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Che NetzerWobei? Was willst du mit diesem $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ machen?

Ich soll auch noch ein Statement für dieses modifizierte $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeben. Also sagen, wie es sich für dieses verhält ...

01.07.2013, 18:42

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Spitzname:
Dieser lautet $\begin{eqnarray*} \varphi' : V/ker(\varphi)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f+ker(\varphi)\mapsto \varphi(f) \end{eqnarray*}$

Nun könntest du aber direkt
$\begin{eqnarray*} \varphi\colon V/U\to\mathbb R\,,\ [f]\mapsto f(x_0) \end{eqnarray*}$
schreiben und kurz begründen, wieso die Abbildung wohldefiniert ist.

Zitat:

Ich soll auch noch ein Statement für dieses modifizierte $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeben. Also sagen, wie es sich für dieses verhält ...

Und hast du auch schon eine Vermutung?

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01.07.2013, 19:13

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Nun könntest du aber direkt
$\begin{eqnarray*} \varphi\colon V/U\to\mathbb R\,,\ [f]\mapsto f(x_0) \end{eqnarray*}$
schreiben und kurz begründen, wieso die Abbildung wohldefiniert ist.

Die Begründung habe ich kurzer Hand auf den Homomorphiesatz abgeschoben. Der sagt nämlich, dass diese Abbildung existieren muss Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Che Netzer
Und hast du auch schon eine Vermutung?

Ehrlich gesagt nein. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist der Schnitt der Mengen $\begin{eqnarray*} U_1=\{f\in V : f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2=\{f\in V : f(x_1)=0 \end{eqnarray*}$ . Sowohl $\begin{eqnarray*} V/U_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} V/U_2 \end{eqnarray*}$ sind isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Weiter komme ich aber nicht ...

01.07.2013, 20:07

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Achte auf die Mengenklammern.

Kannst du denn angeben, wodurch Elemente von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ nun bestimmt sind?
Analog zur vorigen Aufgabe, wo sie eindeutig durch ihren Wert in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bestimmt waren?

02.07.2013, 11:50

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Kannst du denn angeben, wodurch Elemente von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ nun bestimmt sind?
Analog zur vorigen Aufgabe, wo sie eindeutig durch ihren Wert in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bestimmt waren?

Die Elemente aus $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ sind von der Form $\begin{eqnarray*} [v]=[f] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f\inU \end{eqnarray*}$ . Ich würde sagen, dass sie immer noch eindeutig bestimmt sind und zwar durch ihre Werte in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , oder?

02.07.2013, 13:19

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Hat jemand eine Idee?

02.07.2013, 14:17

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Spitzname:
würde sagen, dass sie immer noch eindeutig bestimmt sind und zwar durch ihre Werte in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, $\begin{eqnarray*} [f]\in V/U \end{eqnarray*}$ ist durch die beiden reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Bzw. durch das Tupel $\begin{eqnarray*} (f(x_0),f(x_1)) \end{eqnarray*}$ . Hilft dir das?

02.07.2013, 18:43

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, $\begin{eqnarray*} [f]\in V/U \end{eqnarray*}$ ist durch die beiden reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Bzw. durch das Tupel $\begin{eqnarray*} (f(x_0),f(x_1)) \end{eqnarray*}$ . Hilft dir das?

Hi,
leider nein, wärest du so nett und würdest mich aufklären. Irgendwie habe ich diesbezüglich ein Brett vorm Kopf ...

02.07.2013, 19:02

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Elemente aus dem Quotientenraum der letzten Aufgabe kann man eindeutig durch eine Zahl $\begin{eqnarray*} f(x_0)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und der Raum ist dann isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Elemente aus dem Quotientenraum der jetzigen Aufgabe kann man eindeutig durch ein Tupel $\begin{eqnarray*} \bigl(f(x_0),f(x_1)\bigr)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

02.07.2013, 19:39

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Elemente aus dem Quotientenraum der letzten Aufgabe kann man eindeutig durch eine Zahl $\begin{eqnarray*} f(x_0)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und der Raum ist dann isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Elemente aus dem Quotientenraum der jetzigen Aufgabe kann man eindeutig durch ein Tupel $\begin{eqnarray*} \bigl(f(x_0),f(x_1)\bigr)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Also sind sie isomorph zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ?!

02.07.2013, 20:05

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Kannst du auch einen Isomorphismus angeben?

02.07.2013, 20:54

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Kannst du auch einen Isomorphismus angeben?

Das fällt mir deutlich schwerer, schließlich kann ich nicht mehr so einfach eine (lineare) Abbildung angeben, deren Kern mein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ...

02.07.2013, 21:49

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Denk lieber nicht zu sehr an den Kern.

Wie sah denn der Isomorphismus aus der vorigen Aufgabe aus?

03.07.2013, 20:53

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum

Zitat:

Original von Che Netzer
Wie sah denn der Isomorphismus aus der vorigen Aufgabe aus?

Er hatte die Form $\begin{eqnarray*} V/U\to\mathbb{R}, f+U\mapsto f(x_0) \end{eqnarray*}$

04.07.2013, 21:29

Che Netzer

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RE: Isomorphismus zu einem Quotientenraum
Und kannst du für das neue $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine ganz ähnlich aussehende Abbildung $\begin{eqnarray*} V/U\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erraten?

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