Prüfen -kommutative Gruppen

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen -kommutative Gruppen
Hallo,
Aufgabe:
Menge mit Addition sind kommutative Gruppen.

Meine Herangehensweise ist eigendlich nur:

, wobei
sind.

Das müsste ja eigendlich schon reichen, oder soll ich allgemein zeigen, das alle Gruppenaxiome zur Definition das das eine Gruppe ist, gelten?

Liebe Grüße
shelly
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen -kommutative Gruppen
Die meisten Gruppenaxiome können sich schon aus der konstruktion von Z ergeben.

Du hast allerdings die Kommutativität nicht gezeigt in deiner Gleichung....

Dazu braucht es auch einige Gruppenaxiome....
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen -kommutative Gruppen
Dann werde ich mal versuchen, die Gruppenaxiome anzuwenden...
Falls gilt:

Assoziativität:



Neutrale Element:


wobei das neutrale Element bzgl. der Addition genau 0 ist.

Inverse Element:



Dann könnte ich ja auch sagen


mhh... irgendwie bringt das nichts ..

Liebe Grüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen -kommutative Gruppen
Nur aus den Gruppenaxiomen wird man keine Kommutativität folgern können, ansonsten wäre ja jede Gruppe kommutativ.
Du wirst also auch noch Eigenschaften von benötigen (dass die "Konstruktion" von Z nötig ist habe ich schon im ertsen Post geschrieben).

Dazu ist die Frage, wie ihr Z denn eingeführt habt, am besten dazu einmal im Skript nachschauen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen -kommutative Gruppen
Hey Igrizu,
die additive Gruppe bei den ganzen Zahlen hat ja das neutrale Element 0 und das Inverse von
Es gilt ja:
ergibt ganze Zahl, falls

und


aber wie das jetzt anzuwenden geht ist mir nicht klar ..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfen -kommutative Gruppen
Ja, das stimmt, beantwortet meine Frage aber nicht, wie in der Vorlesung die ganzen Zahlen eingeführt worden sind.


Wenn ihr sie zum Beispiel axiomatisch eingeführt habt, dann kann man sich hier viel ersparen, da das Kommutativgesetz eines der Axiome ist (unwahrscheinlich).

Wurde sie als Menge der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation über IN eingeführt, dann geht das Kommutativgesetz aus der Symmetrie der Äquivalenzrelation hervor usw.

Es hängt also davon ab, wie die ganzen Zahlen eingeführt wurden.
 
 
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