Differentialgleichung (Trennung der Variablen)

01.07.2013, 21:26

heinzchen

Differentialgleichung (Trennung der Variablen)

Meine Frage:
Hallo, benötige Hilfe bei der Rechnung einer Differentialgleichung.

y'+y = e^{x}

Meine Ideen:
y'+ y = e^{x}

y'=e^{x} -y

y'= dx/dy = e^{x} -y

dy/-y = e^{x} * dx

\int_a^b \! \frac{dy}{-y} \, =\int_a^b \! e^{x} *dx \, dy/-y = e^x * dx ( funktioniert irgendwie nicht mit dem Editor )

Ln(-y)= e^{x}+C

y = -e^e^{x}+C

Die Lösung ist aber : y=1/2e^x + c*e^-x

Wo liegt der Fehler in meiner Rechnung ?

Danke für Hilfestellungen und Antworten

01.07.2013, 21:51

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

um die Methode der Trennung der Variablen durchzuführen, muss folgende DGL vorliegen:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=f(y(x))*g(x) \end{eqnarray*}$

Bei dier ist es aber: $\begin{eqnarray*} y'(x)+f(y(x))=g(x) \end{eqnarray*}$

Ich würde erstmal die homogene DGL lösen:

$\begin{eqnarray*} y'+y=0 \end{eqnarray*}$

Grüße.

01.07.2013, 21:51

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung (Trennung der Variablen )
Wink

Der Fehler ist in der 3. Zeile.

y' = dx/dy , muß umgekehrt heißen.

Ich habe mit Variation der Konstanten das Ergebnis ohne Probleme erhalten.
Soll die Aufgabe NUR mit Trennung der Variablen gelöst werden?
Denke das geht so nicht.

@ KASEN , kannst weitermachen

:-)

02.07.2013, 14:13

heinzchen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichung (Trennung der Variablen )
Danke für die Antworten

Das Verfahren ist egal, solange die richtige Lösung raus kommt, dachte ich liege mit Trennung der Variablen richtig.

02.07.2013, 14:36

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
zunächst musst du deine DGL identifizieren. Das Verfahren der Trennung der Variablen funktioniert nur bei einem speziellen Fall der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung, und zwar diejenigen, die sich irgendwie als Produkt ausdrücken lassen. D.h. als: $\begin{eqnarray*} y'=f(y)g(x) \end{eqnarray*}$ , denn nur dann kannst du durch $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten teilen und erhälst deine Lösung.

Im weiteren existieren inhomogene Differentialgleichungen der 1. Ordnung. Diese sind dadurch charakterisiert, dass sie wie folgt notiert werden:
$\begin{eqnarray*} y' + a(x)y =b(x) \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} b(x) \end{eqnarray*}$ eine Störfunktion. Man nennt diese Gleichung übrigens genau dann "homogen" wenn $\begin{eqnarray*} b(x)=0 \end{eqnarray*}$ und genau dann "inhomogen" wenn $\begin{eqnarray*} b(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Für inhomogene DGL der 1. Ordnung müsst ihr ebenfalls Lösungswege kennen gelernt haben. Ich hänge dir mal eine kleine Datei an, diese habe ich vor kurzem getippt. Ich hoffe, dass diese möglichst fehlerfrei ist :-)

Gehe einfach nach der Anleitung dort vor, dann wirst du schon das richtige Ergebnis herleiten können Augenzwinkern

ein paar Beispielaufgaben sind auch enthalten.

Viele Grüße,
Shalec

02.07.2013, 16:15

heinzchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten

Ich habe jetzt mal die homogene DGL gelöst, bin mir aber nicht sicher ob das soweit richtig ist

y'+y= e^x

y'+ y = 0

dy/dx = -y

dy/-y = dx

Ln(-y) = c ( oder ist 1 +c )

y = -e^c

02.07.2013, 16:34

heinzchen

Auf diesen Beitrag antworten »

y'+y= e^x

y'+ y = 0

dy/dx = -y

1/y dy = -dx

Ln(y) +c1 = -x +c2

Ln(y) = -x + c

e^Ln(y) = e^-x+c

|y| = e^c * e^-x

y = +- e^c * e^x

y = K * e^x

so müsste das stimmen

02.07.2013, 16:58

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

|y| = e^c * e^-x

y = +- e^c * e^x

Bis zu hier ersten Zeile kann ich dir folgen. Warum wird dann aus $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ in der ersten Zeile auf einmal $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ in der zweiten Zeile?

Danach kann man die Methode der "Variation der Konstanten" verwenden, die Bürgi angesprochen hatte, um die inhomogene Lösung zu finden.

Die homogene Lösung ist jetzt also $\begin{eqnarray*} y_H = K * e^{-x} \end{eqnarray*}$

Die allgemiene inhomogene Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} y_I = K(x) * e^{-x} \end{eqnarray*}$

Diese wird dann erstmal nach x abgeleitet.

Danach kann man $\begin{eqnarray*} y_I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_I' \end{eqnarray*}$ in die Differentialgleichung einsetzen.

02.07.2013, 18:07

heinzchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Schreibfehler von mir. Komme jetzt mit der Variation der Konstanten auf das richtige Ergebnis.

Danke für die Hilfe

02.07.2013, 18:41

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat. smile

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung (Trennung der Variablen)

Verwandte Themen