Textaufgabe Differentialgleichungen

01.07.2013, 22:09	DieVerzweifelung	Auf diesen Beitrag antworten »
Textaufgabe Differentialgleichungen Meine Frage: Guten Abend, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe: Die erwartete Abzahl von Abnehmern für ein Produkt beträgt 96 000. Beim Start einer Werbekampagne kennen 4000 Leute das Produkt, zwei Monate später sind es bereits 12 000. Nehmen Sie an, die Anzahl der Leute A(t), die das Produkt zum Zeitpunkt t kennen, lässt sich durch eine logistische Differentialgleichung (eine Differentialgleichung des beschränkten Wachstums) beschreiben. a) Geben Sie die Funktion A(t) an b) Wie viele Leute kennen das Produkt nach 6 Monaten? c) Die Werbekampagne soll gestoppt werden, wenn drei Viertel aller potentiellen Komsumenten das Produkt kennen. Wie lange dauert die Kampagne? Meine Ideen: zu a: Startwert wäre ja quasi 4000 oder? Also sowas in der Art: A(t) = 4000t zu b: dafür benötige ich ja die Gleichung von a und dann würde ich für t einfach 6 einsetzen? zu c: 3/496 000 = 72 000. Das bedeutet wenn 72000 Leute das Produkt kennen, kann abgebrochen werden. Also einfach die Gleichung = 72 000 setzen? Danke für eure Hilfe!!!
02.07.2013, 09:44	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die logistische Dgl. besagt folgendes: Erstens: Einserseits gilt: Je mehr Leute das Produkt kennen, um so mehr werden dazukommen (durch Mundpropaganda usw.) Also ist die 1.Ableitung von A proportional zu A. $\begin{eqnarray} \tfrac{dA}{dt} \propto A \end{eqnarray}$ Zweitens: Andererseits gibt es maximal 96.000 Leute, die das Produkt interssieren könnte. Die Differenz 96.000-A ist die Zahl der Leute, die das Produkt noch nicht kennen. Wenn diese Differenz gegen Null strebt, tritt eine Sättigung ein und es werden keine neuen Kunden mehr hinzukommen. Mit anderen Worten: Die Zunahme von A ist proportional zu dieser Differenz $\begin{eqnarray} \tfrac{dA}{dt} \propto 96.000-A \end{eqnarray}$ ----------------------------- Indem man beide Proportionalitäten zusammenfasst, erhält man die logistische Dgl. mit einem noch unbekannten Proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \tfrac{dA}{dt} =\alpha \cdot A \cdot (96.000-A) \end{eqnarray}$ Trennung der Variablen ergibt $\begin{eqnarray} \frac{dA}{\alpha \cdot A \cdot (96.000-A)}=dt \end{eqnarray}$ Integriere dies auf beiden Seiten und du erhältst die allgemeine Lösung A(t)=.... Das Integral auf der linken Seite findest du in Tabellenbüchern. Bei der Integartion kommt noch eine Integrationsvariable C hinzu. Diese unbekannte Integrationsvariable C und der ebenfalls noch unbekannte Proportionalistätsfaktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ergeben sich, wenn man in die allgemeine Lösung A(t)=... die gegebenen Bedingungen einsetzt, nämlich A(0)=4.000 A(2)=12.000 Viel Spaß beim Rechnen!
02.07.2013, 12:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Thread wurde dies hierboards bereits ausführlich behandelt: --> logistisches Wachstum mY+

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