L'Hospital Grenzwert

01.07.2013, 22:12

simon8030

L'Hospital Grenzwert

Hey habe folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x*\sin(x) } - \frac{1}{x^2 } ) \end{eqnarray*}$

ich habe den Ausdruck umgeform nach 0/0 und die Regel angewendet, also nenner und zähler seperat abgeleitet.

jedoch bleibe ich jetzt bei

$\begin{eqnarray*} (x^2 - x*sin(x)) * x*sin(x) * x^2 \end{eqnarray*}$

hängen :/

welche Vorschläge?

01.07.2013, 22:25

grosserloewe

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RE: L'Hospital Grenzwert
Wink

Da hier ein Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \infty -\infty \end{eqnarray*}$

vorliegt, muß zuerst der Hauptnenner gebildet werden.
Dann muß L' Hospital mehrmals angewendet werden.
(Kann auch mehr als 2 Mal sein)

PS nach 4 maliger Anwendung von L' Hospital habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

erhalten.

02.07.2013, 15:31

original

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RE: L'Hospital Grenzwert

Zitat:

Original von grosserloewe
:

PS nach 4 maliger Anwendung von L' Hospital habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

erhalten.

wie oft ?

wirklich vier mal? smile

Zitat:

Original von simon8030

Hey habe folgende Funktion: geschockt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x*\sin(x) } - \frac{1}{x^2 } ) \end{eqnarray*}$ ... und wo - bitte - siehst du da eine Funktion?

jedoch bleibe ich jetzt bei

$\begin{eqnarray*} (x^2 - x*sin(x)) * x*sin(x) * x^2 \end{eqnarray*}$ traurig

hängen :.

dieser grausame Term kommt doch beim Ableiten des Nenners gar nie vor ?

kleiner Grundschultipp:
der Hauptnenner deiner zwei Start-Brüche ist $\begin{eqnarray*} x^2 *sin(x) \end{eqnarray*}$
oder?

.
?

02.07.2013, 15:43

HAL 9000

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Man kann die bei L'Hospital auftretenden Ableitungen bändigen, indem man nicht gleich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x\sin(x)} - \frac{1}{x^2} = \frac{x-\sin(x)}{x^2\sin(x)} \end{eqnarray*}$

mit L'Hospital losstürzt, sondern den Ausdruck rechts vorher noch in das Produkt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{x-\sin(x)}{x^3} \end{eqnarray*}$

zerlegt und die Faktorgrenzwerte separat berechnet.

02.07.2013, 16:23

thk

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... und wenn de L'Hospital nicht zwingend vorgeschrieben ist kommt man mit
der Entwicklung $\begin{eqnarray*} \sin(x) \approx x-\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$ auch zum Ziel.

02.07.2013, 18:50

grosserloewe

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@HAL9000

naja ich bin kein Mensch , der unüberlegt losstürzt, darauf bin ich nicht gekommen, hatte schon auch überlegt. Diese Umformung ist natürlich sehr gut von Dir , aber denke das nur wenige darauf kommen und vor allem ist ja oft auch der Zeitdruck in der Klausur.. Aber insgesamt, muß auch bei dieser Variante 4 Mal abgeleitet werden, wenn gleich sind die Ableitungen einfacher.Aber eine sehr gute Idee.

: Freude

02.07.2013, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
Aber insgesamt, muß auch bei dieser Variante 4 Mal abgeleitet werden

"Muss" ist Ansichtssache: Z.B. kann man den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

eigentlich als Standardwissen betrachten - immerhin ist der ein wesentlicher Grundbaustein bei der Ableitung des Sinus (nicht umgekehrt!). Womit auch die Idee, auf diese Produktzerlegung zu kommen, nicht allzu fern ist.

02.07.2013, 19:37

simon8030

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Habe auch diese umformung gemacht und dann darauf 3 mal(Glaube ich) Hospital angewendet und bin zum Ziel gekommen.

Vielen dank an alle!

02.07.2013, 19:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
aber denke das nur wenige darauf kommen und vor allem ist ja oft auch der Zeitdruck in der Klausur..

Es ist wie so oft: Ein wenig Zeit in die Vorbereitung investiert spart oft wesentlich mehr Zeit bei der Hauptarbeit. Ich finde es jedenfalls immer furchtbar, wenn sich Leute bei L'Hospital durch ellenlange Ableitungsterme kämpfen in dem Glauben, dies "müsse" so sein - was in der Regel eben nicht stimmt.

Weitere Beispiele, wo (faktorielles) Abtrennen von Termen das Ableiten leichter macht

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