Mengenlogik (mindestens x % haben z. B. Krankheit A, B und C

01.07.2013, 22:13

ThatLenno

Mengenlogik (mindestens x % haben z. B. Krankheit A, B und C

Meine Frage:
moin mojn ich muss demnächst einen Test für ne Uni machen und da kommen allerhand Mathefragen dran, die, vorausgesetzt man hat den Ansatz, relativ einfach sind. als Beispielfrage hatte ich folgende:
Es gibt drei verschiedene Versicherungen A, B und C. 80% der Bevölkerung haben Versicherung A.
65% haben B und 50% C. Nun soll man herausfinden, wieviel % der Bevölkerung MINDESTENS alle drei Versicherungen haben. Da wüsste ich gerne, wie man sowas am besten ausrechnet. Gerne auch mit anderen Beispielen und verallgemeinert smile

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre nun, dass man erst z.B. guckt, wieviel % A UND B mindestens haben und danach das Ergebnis (sagen wir jetzt mal D) nimmt und dann mit der dritten Versicherung "zusammenführt". Sprich wieviel D UND C mindestens haben müssen... Vielen Dank schonmal für Antworten smile

LG Lennard

02.07.2013, 05:35

Kasen75

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Hallo,

meine Idee ist folgende:

"mindestens" bedeutet, dass der Anteil der Versicherten, die drei Versicherungen abschließen zu minimieren ist. Das heißt dann aber im Umkehrschluss, dass der Anteil an der Bevölkerung, der genau zwei Versicherungen abschließt, maximal sein sollte. Je mehr Personen es gibt, die zwei Versicherung haben, desto geringer ist, ceteris paribus, der Anteil der Personen die mit 3 Versicherungen einen Vertrag haben.

So ist z.B. der maximale Anteil der Personen, welche die Versicherungen A und C haben, aber keine Versicherung B gleich $\begin{eqnarray*} P(\overline B \cap A \cap C)=P(\overline B)=0,35 \end{eqnarray*}$
Damit ist aber auch klar, dass $\begin{eqnarray*} P(\overline B \cap \overline A \cap C )+P(\overline B \cap A \cap \overline C) +P(\overline B \cap \overline A \cap \overline C)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun kann man auch noch den maximalen Anteil der Personen bestimmen, die einen Vertrag B und C haben, aber keinen Vertrag A. Der wäre dann $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap B \cap C)=P(\overline A)=0,15 \end{eqnarray*}$ , da P(C) dann 0,5 ist. Mehr geht nicht.

Es wird somit noch dieser Zusammenhang berücksichtigt:
$\begin{eqnarray*} P(C)=P(\overline A \cap \overline B \cap C)+P( A \cap \overline B \cap C)+P(\overline A \cap \overline B \cap C)+P( A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

Somt kann man $\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Allgemeiner konnte ich es leider nicht formulieren. Die Aufgabe ist schon speziellerer Art.

Grüße.

02.07.2013, 11:42

ThatLenno

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Schonmal vielen Dank für die Antwort! Ich kann deine Antwort zwar nicht "beweisen", finde jedoch, dass sie plausibel klingt! Ich habe nochmal ein wenig rumgefragt und erfahren, dass die "Formel" um bei zwei Versicherungen z.B. das minimum zu errechnen einfach folgende ist: A + B - 100. In diesem Falle also 80+65-100 = 45%.
Da ich im Test jedoch nur sehr wenig Zeit haben werde, könnte ich mir vorstellen, dass es fast einfacher ist, wenn uch es kurz skizziere nach dem Motto

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	0. 100 \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \|///////////////////////\| \| 80% \|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\| 65% \|\|\|\|\|\|\|\|\|\|\|\|\|\|\| Schnittmenge 45%

und dann gucke, wo es weniger wird: wenn die 50% "von links" oder wenn sie von rechts kommen.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

0.                        100
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|///////////////////////|     | 80%
          |\\\\\\\\\\\\\\\\\\\| 65%
          |||||||||||||||       Schnittmenge 45%
=======                50% (Schnittmenge 15%)
               ======= 50% (Schnittmenge 30%) also sind es mindestens 15%??

^^

LG

Mit Proportionalschrift sind Deine "Grafiken" nicht lesbar. Ich habe sie mal in "Code" verwandelt, der mit Festbreitenschrift angezeigt wird. Ob es so aussehen soll, weiß ich allerdings nicht. Steffen

02.07.2013, 12:45

ThatLenno

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jaa vielen dank! so sollte es eigentlich aussehen smile

bis auf die zwei 50% balken. die sollen natürlich jeweils von einem ende des "Zahlenstrahls" bis zur hälfte reichen. (is klar bei 50%)
LG

02.07.2013, 17:09

Kasen75

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Wie gesagt, würde ich versuchen den Anteil der Bevolkerung mit 2 Verträgen zu maximieren.

Deine Formel fälllt irgendwie vom Himmel. Ich kann sie nicht so ganz nachvollziehen.

Versuche doch mal meinen letzten Beitrag nachzuvollziehen. Du wirst sehen, dass ich als Ergebnis für $\begin{eqnarray*} P( A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$ weniger als 15% habe.

Es ist auch nicht gerade günstig jetzt schon an die Klausur zu denken, wenn man das Problem noch richtig verstanden hat. Das scheint wohl ein allgemeiner Trend zu sein, der durch das Studiensystem begünstigt wird, wenn nicht sogar fast erzwungen. Insofern war das kein Vorwurf an dich, sondern nur meine Sicht.

Wenn du Fragen zu meinem letzten Beitrag hast, gerne. smile

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