Immersion

02.07.2013, 11:27	clairechen	Auf diesen Beitrag antworten »
Immersion Meine Frage: Guten Morgen, meine Aufgabe ist: Für R>r>0 ist der Torus (Doughnut-Oberfläche) die Menge, die entsteht, wenn man einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (R,0,0) um die z-Achse rotiert. Er ist das Bild der Funktion $\begin{eqnarray} T:\mathbb R ^{2}->\mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} T(x,y):= R\begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \\ 0 \end{pmatrix} + rcos(y)\begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \\ 0 \end{pmatrix} + rsin(y)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass die Funktion T eine Immersion ist. Bestimmen Sie endlich viele offene Untermengen $\begin{eqnarray} U_{i}\in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ so dass die Einschränkungen $\begin{eqnarray} T\|_{U_{i}} \end{eqnarray}$ injektive Immersionen sind und so dass die Vereinigung der Bilder der ganze Torus ist. Meine Ideen: Um zu zeigen, dass T eine Immersion ist, habe ich zunächt das Differential gebildet: $\begin{eqnarray} D_{T}=\begin{pmatrix} -Rsin(x)-rcos(y)sin(x) & -rsin(y)cos(x) & \\ Rcos(x)+cos(y)cos(x) & -rsin(y)sin(x) \\ 0 & rcos(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und dann die Zeilen auf lineare Unabhängigkeit geprüft: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \alpha (-Rsin(x)-rcos(y)sin(x))+\beta (Rcos(x)+rcos(y)cos(x)) \\ -\alpha rsin(y)cos(x)-\beta rsin(x)sin(y)+\gamma rcos(y)\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray}$ Also ist T eine Immersion. Ist das soweit schon mal korrekt? Dann habe ich mir weiter überlegt, dass $\begin{eqnarray} U_{1}= \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\in \mathbb R ^{2} \| x=y \end{eqnarray}$ } eine Untermenge ist, für die die Abbildung auch eine Immersion ist. Das könnte man jetzt noch auf Injektivität prüfen. Dann muss ich noch weitere Untermengen finden, und zwar genau die, für die gilt, dass ihr Bild eben wieder der Torus ist. Nun könnte ich natürlich so vorgehen, dass ich mir einfach ganz viele Mengen überlege, sie auf Injektivität und Immersion prüfe und dann irgendwie die minimale Anzahl der Untermengen herausfinde, die den Torus ergeben. Ich habe aber irgendwie das Gefühl, dass dies nicht der richtige (oder einfachste) Weg zur Lösung ist. Es wäre ja besser, wenn man andersherum vorgehen würde, also die Menge aller Ui bestimmen würde, für die gilt, dass sie inj. Immersionen sind und ihre Bilder gleich dem Torus sind. Also so, dass man quasi eine Vorschrift erhält, nach der die Untermengen zu bilden sind. Nur wie gehe ich da vor? VG und vielen Dank
02.07.2013, 20:19	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Immersion Differential bestimmen und zeigen, dass es vollen Rang hat (also trivialen Kern) ist schon einmal eine gute Idee. Wie du darauf kommst, dass alle drei Zeilen linear unabhängig sind, ist mir allerdings ein Rätsel. Da Spaltenrang=Zeilenrang, ist jeweils eine Zeile linear abhängig von der dritten. Die Immersion braucht aber ja nur einen trivialen Kern. Zeige lieber, dass für alle x,y die beiden Spalten linear unabhängig (und von Null verschieden) sind. Das ist aber schnell gemacht. Zum zweiten Teil der Aufgabe: Zu zeigen, dass deine Einschränkung eine Immersion ist, ist trivial. Warum? Na, weil du gezeigt hast, dass die Abbildung an sich an jedem Punkt einen trivialen Kern hat, wenn du jetzt den Definitionsbereich einschränkst, gilt das natürlich immer noch. Viel interessanter ist also die Injektivität. Mein Vorschlag: Male dir den Torus mal auf und überlege, wie genau denn die Abbildung da rumläuft. Dann kannst du den Torus mal in schöne Teile zerschneiden (zwei reichen, bis zu vier sieht man vielleicht eher) und schauen, wie du deinen Parameterraum einschränken musst, damit du genau diese Mengen erzeugst. Gruß MI

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