[Integral] Absolute Konvergenz sin(x)/x auf [pi,infty)

02.07.2013, 14:30

Shalec

[Integral] Absolute Konvergenz sin(x)/x auf [pi,infty)

Hallo allerseits,

da ich keine Quelle kenne um mein Ergebnis zu verifizieren stelle ich dies hier vor und Frage, ob ich einen Fehler begangen habe.

Zunächst die Aufgabe:
Untersuchen Sie folgendes Integral auf uneigentliche Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx \end{eqnarray*}$

Hierauf wende ich 1x die partielle Integration an:

$\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = -\frac{1}{\pi} + \lim\limits_{b\to\infty} \frac{\cos(b)}{b} - \int_\pi^\infty \frac{\cos(x)}{x^2}dx = -\frac{1}{\pi} - \int_\pi^\infty \frac{\cos(x)}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

Nun identifiziere ich $\begin{eqnarray*} f(x):= \frac{\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ und betrachte $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{1}{x^2}\text{ konvergiert} \Rightarrow \int_\pi^\infty \frac{\cos(x)}{x^2}dx \text{ konvergiert absolut} \end{eqnarray*}$
nach dem Majorantenkriterium.

Folglich betrachte ich das Integral:
$\begin{eqnarray*} \left. \int_\pi^\infty \frac{1}{x^2} = - \lim\limits_{b\to\infty} \frac{1}{x} \right|_{x=\pi}^{x=\infty} = \frac{1}{\pi} - \lim\limits_{b\to\infty} \frac{1}{b} = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$

Damit konvergiert dieser Ausdruck und es folgt die absolute Konvergenz des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{\cos(x)}{x^2}dx \end{eqnarray*}$

Beim Schreiben dieses Beitrags ist mir aufgefallen, dass ich hiermit ja nur die Konvergenz des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx \end{eqnarray*}$ bewiesen habe. Aber müsste das Integral nicht auch auf $\begin{eqnarray*} I=[pi,\infty) \end{eqnarray*}$ absolut konvergieren? Denn ich habe herausgefunden, dass das Integral eine Summe von einer Konstanten und einem absolut konvergenten Integral ist. Müsste hiermit dann nicht sogar, aus der absoluten Konvergenz von Reihen motiviert, ebenfalls die absolute Konvergenz des Integrals folgen?

Viele Grüße und vielen Dank!

02.07.2013, 14:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Aber müsste das Integral nicht auch auf $\begin{eqnarray*} I=[pi,\infty) \end{eqnarray*}$ absolut konvergieren?

Nein, das tut es nicht, man kann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x = \infty \end{eqnarray*}$

nachweisen.

Deine Begründung enthält einen Haken: Versuch doch mal, die oben verwendete partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sin(x)}{x} ~ \dd x = -\frac{\cos(x)}{x} - \int \frac{\cos(x)}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

fehlerlos (!) auf

$\begin{eqnarray*} \int \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

zu übertragen. Das geht jedenfalls nicht, indem man einfach nur überall Betragsstriche einzieht. smile

02.07.2013, 14:56

Shalec

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Zunächst danke für deine Antwort!
Mir ist eben mal aufgefallen, als ich es mal versuchte das $\begin{eqnarray*} \int_\pi^\infty \frac{|\sin(x)|}{|x|}dx \end{eqnarray*}$ analog abzuschätzen.

Naja..jedenfalls scheint das von mir ein sauberer Beweis zur Konvergenz zu sein ...

Wolframalpha hatte ich mir mal für einen analogen Weg angeguckt.

Aber wenn ich mal anders partiell integriere:

$\begin{eqnarray*} \left. \int_\pi^\infty \frac{|\sin(x)|}{|x|}dx = \lim\limits_{b\to\infty} \log(x)|\sin(x)| \right|_{\pi}^b - \int_\pi^\infty \log(x)\frac{\partial|\sin(x)|}{\partial x}dx =\infty \end{eqnarray*}$

Die Existenz der Ableitung ist nur wichtig, was da genau raus kommt scheint egal zu sein. (denke $\begin{eqnarray*} sin(x)cot(x) \end{eqnarray*}$ oder so)

Naja setze ich nun die Grenzen ein erhalte ich direkt im ersten Summanden einen unendlich großen Ausdruck und kann daraus sicherlich folgern, dass das Integral nicht absolut konvergent ist.

Witzigerweise lassen sich fast alle Konvergenzbegriffe aus der Analysis über Reihen auf Integrale übertragen, nur nicht dieses ;D Daraus lässt sich sicherlich eine fiese kleine Prüfungsaufgabe erstellen ^^

Kann noch eben jemand mein obiges Ergebnis verifizieren? (Ob dies genügt..)

Viele Grüße und vielen Dank!

02.07.2013, 15:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
$\begin{eqnarray*} \left. \int_\pi^\infty \frac{|\sin(x)|}{|x|}dx = \lim\limits_{b\to\infty} \log(x)|\sin(x)| \right|_{\pi}^b - \int_\pi^\infty \log(x)\frac{\partial|\sin(x)|}{\partial x}dx \end{eqnarray*}$

Aus dem kannst du m.E. gar nix folgern: Der erste Summand konvergiert für $\begin{eqnarray*} b\to\infty \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht, schwankt immer zwischen 0 und einem neuen, höheren lokalen Maximum. Das zweite Integral konvergiert ebenfalls nicht, ja nicht mal der Integrand konvergiert für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Null, er nimmt immer größere positive wie negative Werte an. D.h., du hast da eine Differenz zweier unbestimmt divergierender Ausdrücke - der Supergau. Damit dürfte sich die Frage "ob das genügt" wohl erübrigen. unglücklich

-------------------------------------------------------------------

Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x &=& (-1)^k \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin(x)}{x} ~ \dd x = (-1)^k \left\{ \left[ -\frac{\cos(x)}{x} \right]_{x=k\pi}^{(k+1)\pi} - \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\cos(x)}{x^2} ~ \dd x \right\} \\ &=& \frac{1}{(k+1)\pi} + \frac{1}{k\pi} - (-1)^k \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\cos(x)}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

so dass man summa summarum über deine partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x = \sum_{k=1}^{\infty} \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x = \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k} \right) - \int\limits_{\pi}^ {\infty} (-1)^{\left\lfloor \frac{x}{\pi} \right\rfloor} \frac{\cos(x)}{x^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

erhält. Ja, das Integral rechts konvergiert, aber die harmonische Summe davor divergiert bestimmt gegen unendlich.

P.S.: Man kann die Divergenz des Integrals auch einfacher nachweisen: Es ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\pi}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x &=& \sum_{k=1}^{\infty} \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x \geq \sum_{k=1}^{\infty} \int\limits_{k\pi + \frac{\pi}{6}}^{(k+1)\pi-\frac{\pi}{6}} \frac{|\sin(x)|}{x} ~ \dd x \geq \sum_{k=1}^{\infty} \int\limits_{k\pi + \frac{\pi}{6}}^{(k+1)\pi-\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2x} ~ \dd x \\ &\geq& \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2\cdot (k+1)\pi} = \frac{1}{3} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} = \infty \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ in dem an beiden Seiten um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ "verminderten" Integrationsgebiet gilt.

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