komplizierteres Integral mit Cauchyschem Integralsatz

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HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »
komplizierteres Integral mit Cauchyschem Integralsatz
Hallo, ich versuche grad ein Beispiel aus der Vorlesung Funktionentheorie nachzuvollziehen, leider scheiterts schon an den ersten Schritten:

Wir sollen berechnen:

für a>0

Als nächstes haben wir nun vier Kurven, die zusammen eine geschlossene Kurve ergeben:
y1 von -R bis R
y2 von R bis R+i*a
y3 von R+i*a bis -R+i*a und
y4 von -R+i*a bis -R
somit y=y1+y2+y3+y4

Nun nach dem Cauchyschem Integralsatz ist das Integral
für

Ja und hier meine erste Frage: Warum ? Das leuchtet mir grad nicht ein.

Vielen Dank schonmal smile

Lg Tobi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HammerTobi
Ja und hier meine erste Frage: Warum ?

Du siehst nicht den Zusammenhang zur Aufgabe hier? Nun, es ist

,

damit kann man deinen Integranden schreiben als

,

im Exponenten wird also eine quadratische Ergänzung vorgenommen. Und nun , d.h. die reelle Achse wird ein wenig parallel verschoben...
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

vielen Dank, habs geschnallt, hat aber echt gedauert smile

Lg Tobi
gimple Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, ich hab dieses thread beobachtet, weil ich die aufgabe auch interessant finde. ich hab noch nicht das mit der quadratischen ergänzung verstanden und wieso man den geschlossenen weg betrachtet.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich fand es war dann mehr ein "draufaddieren und sofort wieder abziehen", so:


Für eine holomorphe Funktion auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet mit einer stückweise stetig diff'baren geschlossenen Jordankurve in G verschwindet das Integral, deshalb die geschlossene Kurve, ausserdem verschwinden die Integrale über y2 und y4 für und das Integral über y1 für ist bekannt (Fehlerintegral: ), daraus ergibt sich dann:


was das selbe ist, wie:

und somit


stimmt das?

Lg Tobi
gimple Auf diesen Beitrag antworten »

okay, die quadratische ergänzung sehe ich jetzt; der exponent ist



quadratische ergänzung:



dann hat man da also stehen



Und jetzt substituiert man :





-----

Man weiß außerdem, dass

.

----

Hab ich das bis hierher korrekt verstanden?
Wieso verschwinden nun, wie du sagst, der zweite und der vierte Summand, wenn ?
 
 
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Mal für den zweiten Summand wendet man die Standardabschätzung für komplexe Wegintegrale an:
für .

Analog gehts mit y4.

Lg Tobi
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

okay, zweiter und vierter summand verschwinden für , das hab ich jetzt auch kapiert.

Für den ersten Summanden hat man für :



Stimmt das? Wieso ?


Und das Integral über ?


Wenn ich übrigens störe in diesem Thread, dann einfach sagen.
Ich find diese Aufgabe nur sehr interessant, weil ich endlich mal ne Aufgabe sehe, wo man den Cauchy Integralsatz braucht.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gimpel
Für den ersten Summanden hat man für :

*2


und das ist eben

Für y3:

gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

danke!

jetzt will ich nicht weiter stören und hoffe, dass HAL9000 und die anderen Helfer durch meine Fragen nicht gestört wurden.

(Ich habe mich auch nur eingemischt mit meinen Fragen, weil ich den Eindruck hatte, der Thread sei beendet, weil du geschrieben hattest, dass alles klar sei.)
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, hast ja nicht gestört smile

Lg Tobi
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich hab doch noch nicht verstanden, wie du auf das Ergebnis für das Integral über kommst.

kannst du es erklären?
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Schritt genau meinst du?
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HammerTobi

Für y3:



Das erste und das zweite "=" verstehe ich nicht.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das erste "=" folgt aus umschreiben von z=x+ia, das kannst du noch in Real- und Imaginärteil aufteilen, wobei der Imaginärteil wegen dem Sinus verschwindet.

Zweites "=" ist nur der Grenzübergang von R-> unendlich, damit man zum dritten "=" kommt.
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Irritiert hat mich nur das Minus, denn ich habe da



und deswegen ist es bei mir der Faktor , der vor das Integral gezogen wird.
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal bei meinem dritten Beitrag, da siehst du, warum eins mit Minus vors Integral kommt.
Sonst hättest du ja ein e^(a^2) zu viel.
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich es.

Und meine Substitution, die ich zu Beginn gemacht hatte... hätte ich da nicht eigentlich auch die Integralgrenzen anpassen müssen?

Also integrieren über ai und ?
HammerTobi Auf diesen Beitrag antworten »

Du substituierst ja im Sinne z:=x+ia und führst hier keine Integration durch Substitution durch..
da brauchst du an den Integrationsgrenzen meiner Meinung nach nichts rütteln.

Lg Tobi - und gute Nacht smile
gimpel Auf diesen Beitrag antworten »

So völlig klar ists mir nicht, aber ich belass es mal dabei jetzt.
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