Gruppenaxiome

02.07.2013, 22:57

Theend9219

Gruppenaxiome

Hallo, ich habe mal wieder eine Aufgabe,

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G = \left\{ x \in R: 0\leq x <1\right\} \end{eqnarray*}$ und deren Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} x \circ y := \begin{cases}<br /> x+y, & \text{falls } x+y <1 \\<br /> x+y-1, & \text{sonst }<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

eine Gruppe ist. Ist $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$

Reicht dann für die Existenz des neutralen Elementes x+ e= x und y+e = y ?
x liegt ja zwischen 0 und 1 .. wäre x z.B 1 dann 1+e = 1 ( das neutrale element bzgl. der Addition ist ja 0.. also passt es .. Aber ich glaube ich denke zu einfach .. Kann mir jemand vielleicht bei dem Nachweis des neutralen Elementes helfen?

02.07.2013, 23:18

Mulder

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RE: Gruppenaxiome
Naja, das neutrale Element ist in der Tat die 0. Und x+0 ist doch stets <1, weil x<1 ist. Der Fall x+0 größergleich 1 kann ja nicht eintreten. Also passt das doch wunderbar und es ist stets $\begin{eqnarray*} x \circ 0 = 0 \circ x = x \end{eqnarray*}$ .

02.07.2013, 23:22

Theend9219

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RE: Gruppenaxiome
Dankeschön Mulder, Stimmt.. mit der 0 einsetzen ...

Nun versuche ich das Axiom Existenz einer Inversen zeigen...

Also wäre das ja $\begin{eqnarray*} x+(-x) = -x +x = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+(-0) = e = 0 \end{eqnarray*}$

würde das hier auch schon so reichen?
LG Shelly

02.07.2013, 23:28

Mulder

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RE: Gruppenaxiome
Da wir die 0 bereits als das neutrale Element identifiziert haben, verzichte mal auf das e. Schreib einfach 0, sonst machst du es dir ja nur selber umständlich.

Aber was hast du denn nun eigentlich gezeigt? oder zeigen wollen? Ja, die 0 hat ein Inverses, die 0 ist als neutrales Element eben selbstinvers. Das ist banal. Aber wir wollen ja zeigen, dass jedes Element ein Inverses hat.

Was ist z.B. mit $\begin{eqnarray*} x= \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ ? Was ist da das Inverse? oder bei $\begin{eqnarray*} x= \frac 1 \pi \end{eqnarray*}$ ?

02.07.2013, 23:34

Theend9219

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RE: Gruppenaxiome
hey,.
Naja das additiv inverse von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist doch keine reelle Zahl ..
wobei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ schon eine reelle Zahl ist und das inverse davon $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ ist. Und die Verknüpfung mit der Addition 0 ergibt ..

Liebe Grüße

02.07.2013, 23:39

Mulder

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RE: Gruppenaxiome

Zitat:

Original von Theend9219
Naja das additiv inverse von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist doch keine reelle Zahl ..

Also zunächst mal: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl? Also gilt neuerdings $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ ??????

Und $\begin{eqnarray*} - \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ (als reelle Zahl aufgefasst) liegt leider nicht in deiner Menge G. Denn da liegen nur Zahlen drin, die zwischen 0 und 1 liegen.

$\begin{eqnarray*} - \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ ist das Inverse von $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ bezüglich der üblichen Addition $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ . Aber wir haben es hier mit einer ganz anderen Verknüpfung zu tun, nämlich mit $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ . Damit musst du arbeiten.

03.07.2013, 12:34

Theend9219

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RE: Gruppenaxiome
Heyyyy,
Es sind doch folgende Fälle zu überprüfen:
Falls $\begin{eqnarray*} x+y <1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y-1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x+y \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Im Fall $\begin{eqnarray*} x+y <1 \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x+y+z < 1 \end{eqnarray*}$ dann gilt wegen der

Assoziativität

$\begin{eqnarray*} (x+y)+z = x+(y+z) \end{eqnarray*}$

Neutrale Element

Falls $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+y = x+0+y+0 = x+y \end{eqnarray*}$

Inverse Element

$\begin{eqnarray*} x+y + x^{-1} + y^{-1} = x+(y+y^{-1})+x^{-1} = x+x^{-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss ich es doch noch für den Fall $\begin{eqnarray*} x+y-1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x+y \geq 1 \end{eqnarray*}$ zeigen, oder?

Liebe Grüüüßchen Augenzwinkern

Shelly

03.07.2013, 14:56

Mulder

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RE: Gruppenaxiome
Du führts irgendwie keine Beweise durch, sondern schreibst nur Definitionen hin.

Zum Beispiel beim Inversen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x+y + x^{-1} + y^{-1} = x+(y+y^{-1})+x^{-1} = x+x^{-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Zunächst mal ist es ja unnötig, mit einer Summe x+y zu rechnen. Es reicht, ein einzelnes Element x zu betrachten.

Und was genau meinst du da denn nun gezeigt zu haben? Du schreibst irgendwelche $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ da hin. Aber dass dieses überhaupt existiert, musst du doch erstmal zeigen. Das hast du bisher noch nicht getan. Außerdem solltest du genau drauf achten, wo du + schreibst und wo $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ .

Sei also x ein Element aus unserer Menge G.

Wir benötigen nun ein Inverses, also ein Element $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du noch nicht siehst, was $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist (du kannst das konkret angeben), dann machs halt erstmal an einem Beispiel. x=1/4 hatte ich ja schon vorgeschlagen. Was ist das Inverse Element davon? Und sag jetzt bitte nicht -1/4, das ist es nämlich ganz sicher nicht.

Wie geasagt, die anderen Punkte sind auch nicht richtig, bzw. bewiesen hast du da nichts, sondern lediglich Definitionen hingeschrieben. Wobei du überall nur mit + arbeitest und nirgends konkret mal die eigentlich hier verwendete Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringst.

03.07.2013, 15:31

Theend9219

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RE: Gruppenaxiome
Hey ... ich dachte mit $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ wäre nur das Verknüpfungszeichen gemeint .. aber es ist die Multiplikation gemeint ... Ich würde es dann so machen ..

03.07.2013, 15:40

Mulder

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RE: Gruppenaxiome
Nein, es ist nicht die "übliche Multiplikation gemeint. Sondern das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \circ y := \begin{cases} x+y, & \text{falls } x+y <1 \\x+y-1, & \text{sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Stört es dich denn nicht, dass du jetzt z.B. auch als Inverses Element einfach die 4 genommen hast, die 4 allerdings gar nicht in deiner Menge G liegt?

Damit das jetzt mal ein Ende findet: Das Inverse von 1/4 ist einfach 3/4. Denn:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \circ \frac 3 4 \overset{\text{da} \, \frac 1 4 + \frac 3 4 \geq 1}{=} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1 = 1-1=0 \end{eqnarray*}$

Und allgemein ist das Inverse von x eben 1-x (für x ungleich 0 natürlich nur), rechne es nach. Also

$\begin{eqnarray*} x \circ (1-x) = 0 \end{eqnarray*}$

Und 1-x liegt immer in G, wenn x in G liegt und ungleich 0 ist (mach dir das nochmal klar).

03.07.2013, 18:58

mathinitus

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Die Gruppe erinnert mich an $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}/\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Habt ihr schon Faktorgruppen gelernt?

03.07.2013, 22:05

Theend9219

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RE: Gruppenaxiome
Vielen Dank Mulder, ... Jetzt weiß ich wenigstens wo ich hin muss vielen Dank dafür ...Mathinitus : Ja hatten wir..

Liebe Grüße

03.07.2013, 23:38

mathinitus

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RE: Gruppenaxiome

Zitat:

Original von Theend9219
Vielen Dank Mulder, ... Jetzt weiß ich wenigstens wo ich hin muss vielen Dank dafür ...Mathinitus : Ja hatten wir..

Liebe Grüße

Siehst du, deine Gruppe $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}/\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ isomorph. Kannst du den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:G\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ angeben?

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