Prüfen, ob Gruppe torsionsfrei ist

03.07.2013, 11:56	misterl	Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen, ob Gruppe torsionsfrei ist Hallo, ich möchte die 17 ebenen kristallographischen Gruppen auf ihr Torsion hin überprüfen. Eine Gruppe ist dabei torsionsfrei, wenn die Torsions-Untergruppe nur die 1 enthält, dies also das einzige Element endlicher Ordnung ist: $\begin{eqnarray} T(G) = \{g \in G : o(g) < \infty \} = \{ 1 \} \end{eqnarray}$ Nun habe ich die Gruppen aber über ihre endliche Präsentation gegeben und die Gruppen selbst enthalten unendlich viele Elemente. D.h. ich muss die Frage doch irgendwie auf die Erzeuger zurückführen können, da man ja nicht alle Elemente nacheinander prüfen kann? Die Gruppen sehen z.B. so aus: $\begin{eqnarray} p2 &:=\langle x,y,r \; \| \; [x,y],r^2,x^r=x^{-1},y^r=y^{-1}\rangle \\ pm &:=\langle x,y,m \; \| \; [x,y],m^2,x^m=x,y^m=y^{-1}\rangle \end{eqnarray}$ Habt ihr eine Idee, wie ich hier vorgehen kann? Gerne auch an einem schon bekannten oder einfacheren Beispiel, wenn es anhand der obigen Gruppen zu schwierig wird.

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