Steckbriefaufgabe

27.02.2007, 11:34

Hoffi1980

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Steckbriefaufgabe

Eine ganzrationale Funktion 4 Grades hat im Ursprung und bei x=6 eine Tangente waagerecht. Die 2.Ableitung ist im Ursprung 0. Sie schneidet x ein weiteres Mal mit der Steigung -8.

Meine Ansätze:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1. Ableitung = 4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. Ableitung = 2ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

Sie läuft durch den Ursprung, daher e = 0

Sie hat im Ursprung und bei x=6 eine Tangente waagerecht.

also: $\begin{eqnarray*} 1.Ableitung (6)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1.Ableitung (0) = 0 \end{eqnarray*}$

Die 2 Ableitung ist im Ursprung =0.

$\begin{eqnarray*} 2. Ableitung (0) = 0 \end{eqnarray*}$

Sie schneidet x ein weiteres Mal mit der Steigung -8.

Wie kann die Funktion nun nochmal x schneiden, wenn sie durch den Ursprung läuft?

27.02.2007, 11:40

klarsoweit

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RE: Steckbriefaufgabe

Zitat:

Original von Hoffi1980
Sie schneidet x ein weiteres Mal mit der Steigung -8.

Irgendwie habe ich das Gefühl, daß da eine Information fehlt.

Im übrigen darfst du die Ableitung auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$

27.02.2007, 11:42

Calvin

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RE: Steckbriefaufgabe
Beim ersten Lesen habe ich den Satz

Zitat:

Original von Hoffi1980
Sie schneidet x ein weiteres Mal mit der Steigung -8.

so verstanden, dass mit "Sie" die zweite Ableitung gemeint ist. Versteht das noch jemand so?

27.02.2007, 11:43

Hoffi1980

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Ich weiß auch nicht wie der Prof das meint, ob nun die 2.Ableitung oder die Stammfunktion die x-Achse schneidet, ist kein klares Deutsch, was denkst du denn. Und wie sind meine anderen Annahmen?

27.02.2007, 11:52

Calvin

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Ich denke, dass die zweite Ableitung gemeint ist. Damit kann man die Aufgabe lösen.

Aber die Aussage

Zitat:

Sie läuft durch den Ursprung, daher e = 0

ist falsch. Es steht nirgends, dass f durch den Ursprung geht!

EDIT

Quatsch, jetzt habe ich die Aufgabe falsch gelesen. Du hast recht, dass e=0 ist. *sorry* smile

smile

27.02.2007, 11:54

klarsoweit

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RE: Steckbriefaufgabe

Zitat:

Original von Hoffi1980
Eine ganzrationale Funktion 4 Grades hat im Ursprung

Also läuft sie durch den Ursprung.

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27.02.2007, 11:55

Calvin

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@klarsoweit

stimmt. habe ich inzwischen auch gesehen smile

smile

27.02.2007, 11:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Calvin
Ich denke, dass die zweite Ableitung gemeint ist. Damit kann man die Aufgabe lösen.

Es ist ja nicht gesagt, an welcher Stelle die x-Achse geschnitten wird. Von daher sehe ich da noch keinen Lösungsweg.

27.02.2007, 11:57

Calvin

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Doch, das geht. Du kannst nämlich die zwei Nullstellen der zweiten Ableitung ausrechnen. Ich habe es durchgerechnet.

27.02.2007, 12:00

Hoffi1980

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Also Jungs...

sind alle meine Annahmen richtig?

Wenn ja dann habe ich 3 Bedingungen für 4 Variablen denn e ist ja gleich 0.

Also welche fehlt?

27.02.2007, 12:02

Calvin

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Meiner Meinung nach fehlt die Bedingung, dass die 2. Ableitung die x-Achse nochmal mit der Steigung -8 schneidet. Du kannst damit b berechnen, wenn du vorher mit $\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$ das c bestimmt hast.

27.02.2007, 12:06

Hoffi1980

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Calvin, formulier bitte mal die Bedingung...DANKE

27.02.2007, 12:09

Bjoern1982

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Ich würde vorschlagen (wenn das alles schon nicht so eindeutig formuliert ist) z.B. einfach f '(12) = - 8 zu setzen und man erhält auch eine Funktion, die alle Bedingungen erfüllt.

Edit:

Achso, es ist gemeint dass der Graph der 2. Ableitung die x-AChse noch einmal schneidet....hab mich verlesen sorry Wink

Wink

Gruß Björn

27.02.2007, 12:15

Divergenz

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RE: Steckbriefaufgabe
Hallo Jungs,

ich sehe die Formulierung eigentlich ganz eindeutig und klar. Die erten 4 Bedingungen sind klar, wie ich dem Thread entnehme, also:
$\begin{eqnarray*} f(0)=0,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=0,\quad f'(6)=0. \end{eqnarray*}$

Die Aussage, sie (die Funktion) schneidet x (die x-Achse) ein weiteres mal mit der Steigung -8, heißt doch
$\begin{eqnarray*} \exists x_0\neq 0:\quad f(x_0)=0\wedge f'(x_0)=-8. \end{eqnarray*}$
Das passt auch zu einer Funktion 4ten Grades. Wir haben 4 Nullstellen, $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einfach und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dreifach. Insgesamt haben wir nun also 6 Bedingungen, aber auch 6 Unbekannte $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

27.02.2007, 12:18

Calvin

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Mein Vorschlag wäre folgender:

Berechne erstmal alle möglichen Unbekannten mit den gegebenen Bedingungen. Die meißten davon sind 0, so dass sich die Funktion f schon stark vereinfacht.

Dann bestimmst du die zwei Nullstellen der zweiten Ableitung. Die eine war dir ja schon bekannt, die andere ist neu. Jetzt weißt du, dass die Steigung der zweiten Ableitung bei dieser Nullstelle -8 ist. Also einsetzen, feststellen dass sich was rauskürzt und b ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT

Tja, und schon haben wir die Diskussion, ob "Sie" die Funktion f oder die zweite Ableitung f'' meint Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um sicher zu gehen würde ich beim Prof nachfragen.

27.02.2007, 12:25

Bjoern1982

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Ich sehe es genauso wie Calvin und bin der Meinung dass mit "Sie" der Graph der zweiten Ableitung gemeint ist....wenn sich das "Sie" auf den Graph der Ausgangsfunktion bezogen hätte, müsste der Prof das nochmal explizit erwähnen, da im vorherigen Satz einzig und allein von der zweiten Ableitung die Rede war.

Kommen ja auch einigermaßen schöne Werte raus smile

smile

Gruß Björn

27.02.2007, 13:34

Divergenz

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Okay, jetzt habe ich die Aufgabe auch mal so lesen können, wie ihr sie versteht. Naja, fragen kannst du ja nochmal, oder du rechnest halt beide Varianten. Sind schließlich beide nicht schwer und die Ergebnisse sind auch beide schön!
Übrigens ist es für eure Interpretation der Aufgabe leichter nur eine letzte Bedingung anzusetzen, nämlich $\begin{eqnarray*} f^{(3)}(0)=8 \end{eqnarray*}$ , denn die 2te Ableitung ist schließlich eine Parabel, indem Fall mit 2 Nullstellen. Die Anstiege einer Parabel in den Nullstellen sind nun aber immer entgegengesetzt. Da brauch man sich also um die 2te Nullstelle keine Gedanken machen!

LG Divergenz

27.02.2007, 13:56

Hoffi1980

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"sie" meint die Stammfunktion. Was eine schlechte Formulierung!

Aber der Proff hat immer Recht.

Das sieht in etwas so aus:

Habt ihr nun eine Idee für die fünfte Bedingung?

Ich habe mit den anderen vier schonmal e=0 , d=0 und c=0 rausbekommen.

27.02.2007, 14:01

Calvin

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Welche Stammfunktion? f oder F?

Hat es also divergenz im ersten Beitrag richtig verstanden?

Zitat:

Original von Divergenz
Hallo Jungs,

ich sehe die Formulierung eigentlich ganz eindeutig und klar. Die erten 4 Bedingungen sind klar, wie ich dem Thread entnehme, also:
$\begin{eqnarray*} f(0)=0,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=0,\quad f'(6)=0. \end{eqnarray*}$

Die Aussage, sie (die Funktion) schneidet x (die x-Achse) ein weiteres mal mit der Steigung -8, heißt doch
$\begin{eqnarray*} \exists x_0\neq 0:\quad f(x_0)=0\wedge f'(x_0)=-8. \end{eqnarray*}$
Das passt auch zu einer Funktion 4ten Grades. Wir haben 4 Nullstellen, $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einfach und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ dreifach. Insgesamt haben wir nun also 6 Bedingungen, aber auch 6 Unbekannte $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

27.02.2007, 14:05

Hoffi1980

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Die Funktion, welche wir finden wollen, schneidet die X-Achse.

Also F(x) = Ergebniss.

Ich verstehe leider nicht was Divergenz schreibt geschockt

geschockt

27.02.2007, 14:11

klarsoweit

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Die Überlegung ist die:

Die 2. Ableitung ist eine Parabel, die durch den Ursprung geht und dort die Steigung m hat. Irgendwo auf der x-Achse hat diese Parabel eine weitere Nullstelle. Die Steigung dort ist -8. Da Parabeln in ihren Nullstellen entgegengesetzte Steigungen haben, folgt m=8. Das heißt, die Ableitung der 2. Ableitung ist an der Stelle 0 gleich 8. Daraus folgt f'''(0)=8. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2007, 14:11

Divergenz

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Also gut, $\begin{eqnarray*} e=d=c=0 \end{eqnarray*}$ hast du schon, dann weißt du nun also noch
$\begin{eqnarray*} f'(6)=4\cdot 6^3a+3\cdot 6^2=0, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0)=a\cdot x_0^4+b\cdot x_0^3=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=4\cdot a\cdot x_0^3+3\cdot b\cdot x_0^2=-8, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} x_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ eine zweite Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

Mit diesen 3 Bedingungen kannst du nun die fehlenden Größen Bestimmen!

27.02.2007, 14:14

Calvin

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RE: Steckbriefaufgabe

Zitat:

Die Funktion, welche wir finden wollen, schneidet die X-Achse.

Also F(x) = Ergebniss.

Zitat:

Original von Hoffi1980
Eine ganzrationale Funktion 4 Grades hat im Ursprung und bei x=6 eine Tangente waagerecht. Die 2.Ableitung ist im Ursprung 0. Sie schneidet x ein weiteres Mal mit der Steigung -8.

Meine Ansätze:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

Also nicht F(x) sondern f(x) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alles weitere hat Divergenz schon beschrieben.

EDIT
@klarsoweit

Die Aufgabe war missverständlich formuliert. Es geht nicht mehr um die Steigung der zweiten Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2007, 14:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Divergenz
$\begin{eqnarray*} f'(6)=4\cdot 6^3a+3\cdot 6^2=0, \end{eqnarray*}$

Da fehlt mir irgendwie ein b.

Zitat:

Original von Divergenz
Mit diesen 3 Bedingungen kannst du nun die fehlenden Größen Bestimmen!

Wollen es hoffen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2007, 15:09

Divergenz

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Richtig, es muss natürlich heißen:
$\begin{eqnarray*} f'(6)=4\cdot 6^3 a+3\cdot 6^2 b=0 \end{eqnarray*}$

27.02.2007, 15:32

Hoffi1980

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Ich steh wieder auf dem Schlauch...

dann habe ich die 3 Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} f'(6)=4\cdot 6^3a+3\cdot 6^2=0, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0)=a\cdot x_0^4+b\cdot x_0^3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=4\cdot a\cdot x_0^3+3\cdot b\cdot x_0^2=-8, \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das jetzt mit z.b. Gauß ? verwirrt

verwirrt

27.02.2007, 15:33

Calvin

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Zitat:

Original von Hoffi1980
$\begin{eqnarray*} f(x_0)=a\cdot x_0^4+b\cdot x_0^3=0 \end{eqnarray*}$

Bestimme hiermit mal die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

27.02.2007, 15:41

Divergenz

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Gauß funktioniert da natürlich nicht, jetzt ist es ja ein nichtlineares Gleichungssystem. Man kommt aber mit sowas wie Einsetzungsverfahren bei der Aufgabe sogar ohne Fallunterscheidungen aus. Also, wie Calvin schon sagt, zuerst bietet sich an, die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ natürlich in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, und dann das Ergebnis in die anderen beiden Bedingungen einzusetzen. Die Gleichung von $\begin{eqnarray*} f'(6) \end{eqnarray*}$ sollte man dann vielleicht nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umstellen und dann stehts auch schon fast da!

27.02.2007, 15:41

Hoffi1980

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@calvin

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x^2(a*x^2+b*x)=0 \end{eqnarray*}$

dann sehe ich die Nullstelle bei 0.

Und dann ?

27.02.2007, 15:44

Divergenz

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Lieber gleich $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ausklammern! Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2007, 15:47

Hoffi1980

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Jetzt kommt nur Murks raus:

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

27.02.2007, 16:13

Divergenz

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Wieso Murks? Die Struktur stimmt, nur die Reihenfolge nicht!
$\begin{eqnarray*} x_0=-\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber das ist sowieso klar, sonst könnte die Funktion keine weitere Nullstelle haben!

27.02.2007, 16:15

Hoffi1980

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@divergenz

was habe ich denn nun davon?

27.02.2007, 16:16

Calvin

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Du hast $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

Das kannst du weiter einsetzen. Dann hast du nur noch zwei Gleichungen mit 2 Variablen.

27.02.2007, 16:19

Divergenz

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Hab ich doch schon geschrieben. Dieses Ergebnis musst du (wie beim Einsetzungsverfahren) nun in die Bedingung $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=-8 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann hast du noch 2 Unbekannte und 2 Gleichungen. Nimm dann die Bedingung $\begin{eqnarray*} f'(6)=0 \end{eqnarray*}$ und löse sie nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf, setze das Ergebnis wiederum in die andere Bedingung ein und stelle die schließlich nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ um.

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