Taylorreihe Konvergenzradius

Neue Frage »

Student007 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe Konvergenzradius
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe zur folgender Aufgabe Fragen. Leider, konnte ich auf Grund der unterschiedlichen Schreibweisen mich in anderen Fragen zum gleichen Thema nicht zurecht finden.

Gegeben:



Nun sollte ich die Taylorreihe bis zur dritten Potenz bilden:



Bis hier hin stimmt alles mit den Lösungen überein. Schließlich soll ich den Konvergenzradius bestimmen:




Meine Ideen:
Ich weiß, dass es mit der Formel möglich ist:



aber was ist hier mein an?

Danke für die Hilfe Augenzwinkern
mathemag1er Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe Konvergenzradius
Schau doch mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe Konvergenzradius
Den Konvergenzradius der Taylorreihe oder welcher Reihe?

Bei dem angegebenen Taylorpolynom kann man den maximalen Fehler bestimmen...

Also, den Konvergenzradius von welcher Reihe?
mathemag1er Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe Konvergenzradius
Ich denke die Aufgabe ist schon so zu verstehen, dass man den Konvergenzradius der Taylorreihe bestimmen soll. Man hat in der 1. Teilaufgabe die ersten 3 Koeff. als Aufwärm-übung bestimmt und soll von den ersten drei Koeff. auf alle restlichen schliessen. Das Schema is hier ja sehr offensichtlich

So hab ich das verstanden smile
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für eure Antworten.

Auch wenn ich mir den Wikipediaartikel durchlese, komme ich nicht darauf, was genau mein an und mein n sein soll. Da, ich ja den 3ten Koeffizienten bestimmen sollte, dachte ich, dass n = 3 ist und ich für a den Funktionswert an dieser Stelle einsetzen muss. Allerdings steht in den Lösungen, dass der Radius = 1 sein soll. Auf dieses Ergebnis komme ich leider nicht.

Wo genau ist mein Fehler?
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komm ich mit den Schreibweisen nicht klar... Meine Taylorreihe sieht doch ganz anders aus, als die, die hier in anderen Fragen bearbeitet werden. z.B.:

 
 
mathemag1er Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja die Funktion nicht in eine Reihe entwickelt. Deswegen siehst du auch keine Reihe. Der Zweck, dass du die ersten 3 berechnest und nicht alle ist wohl einfach, dass du nach 3 mal berechnen schon sofort sehen solltest, wie alle anderen sein werden. Ich schmeiss jetzt einfach mal die Vermutung

a_n = 1/(2^n)

in den Raum.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe Konvergenzradius
Zunächst einmal ist die Taylorreihe der Funktion an einer Stelle gegeben durch .

Zitat:

und soll von den ersten drei Koeff. auf alle restlichen schliessen. Das Schema is hier ja sehr offensichtlich


Das ist es bei Taylorreihen immer, schließlich ist

Zitat:

Ich schmeiss jetzt einfach mal die Vermutung

a_n = 1/(2^n)


Nope, falsch!

Zitat:

Auch wenn ich mir den Wikipediaartikel durchlese, komme ich nicht darauf, was genau mein an und mein n sein soll. Da, ich ja den 3ten Koeffizienten bestimmen sollte, dachte ich, dass n = 3 ist und ich für a den Funktionswert an dieser Stelle einsetzen muss. Allerdings steht in den Lösungen, dass der Radius = 1 sein soll. Auf dieses Ergebnis komme ich leider nicht.



Betrachte die obige Talorreihe und das zugehörige , versuche, eine Darstellung für die n-te Ableitung an der Stelle zu finden und das dann entsrechend darzustellen, dann einfach in die Formel einsetzen (entweder Quotientenregel oder Wurzelkriterium).
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs:

Darstellung für die n-Ableitung:



Damit habe ich:




r=1

Ist das so korrekt?

Hammer
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du hast noch elementare Probleme mit den Schreibfiguren.
Auch das Einsetzen stimmt nicht.
Und die Folgerung aus dem falschen Einsetzen ist falsch, auch wenn sie zufällig stimmt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nach diesem Hichhack gebe ich dir einmal die rekursive Darstellung der Ableitungen:

und

Das sollte schnell einzusehen sein durch die Bildung der Ableitung, der Ausdruck ist stets 1 für und . Beim Bilden der Ableitungen verringert sich der Exponent um 1, bei der n-ten Ableitung hat er sich also um n verringert, dieser Faktor, also der Faktor (0,5-n) "wandert" dann vor den jeweils vorherigen Ausdruck.

So, nun ist es aber an dir, das zu vervollständigen, einmal von der rekursiven zur expliziten Darstellung und dann die Folge bilden.....
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, ich sitz jetzt hier schon wieder 2 Stunden dran, und weiß nicht was ich genau machen soll:

Folgendes halte ich fest:



Das ist meine Taylorreihe? Ist sie das oder ist es nur eine Reihe bis zum 3 Koeffizienten?

Um nun den Konvergenzradius zu bestimmen, benötige ich die rekursive Ableitung (heißt für mich jetzt diejenige Ableitung die für alle n gilt?

Wäre für micht:


Du hattest noch ein davor geschrieben. Warum muss das so sein?

Gut, wenn ich nun die Ableitung in rekurisver Darstellung habe soll ich SIe auf die explezite Darstellung bringen und dann die Folge bilden.

Leider weiß ich weder wie ich von der rekurisven Darstellung zur expleziten komme, noch weiß ich wie ich Folge bilde....

Danke für deine Hilfe Mit Zunge
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007
Sry, ich sitz jetzt hier schon wieder 2 Stunden dran, und weiß nicht was ich genau machen soll:

Folgendes halte ich fest:



Das ist meine Taylorreihe? Ist sie das oder ist es nur eine Reihe bis zum 3 Koeffizienten?


Das ist überhaupt keine Reihe sondern ein Polynom, genauer, das ist das 3. Taylorpolynom der Funktion


Zitat:
Original von Student007
Um nun den Konvergenzradius zu bestimmen, benötige ich die rekursive Ableitung (heißt für mich jetzt diejenige Ableitung die für alle n gilt?

Wäre für micht:


Du hattest noch ein davor geschrieben. Warum muss das so sein?


verwirrt die rekursive Darstellung der n-ten Ableitung von habe ich doch bereits hingeschrieben. Was du hier nun gemacht hast ist mir völlig unklar. schreibe doch einmal genau, was du nicht verstehst.

Zitat:
Original von Student007
Gut, wenn ich nun die Ableitung in rekurisver Darstellung habe soll ich SIe auf die explezite Darstellung bringen und dann die Folge bilden.


Das wäre eine Möglichkeit...

Zitat:
Original von Student007
Leider weiß ich weder wie ich von der rekurisven Darstellung zur expleziten komme, noch weiß ich wie ich Folge bilde....

Danke für deine Hilfe Mit Zunge


Also im
Prinzip ist alles nur lesen, ich habe dir die notwendigen Informationen schon hingeschrieben.

Noch mal zusammengefasst:

Taylorreihe ist

Das ist eine Potenzreihe , wobei

Und die (n+1)-te Ableitung deiner Funktion an der Stelle ist rekursiv gegeben durch

Wie schaut denn nun die Folge in rekursiver Darstellung aus?

Edit: Eine explizite Darstellung benötigen wir nicht, wenn wir das Quotientenkriterium anwenden. Dann ist die Aufgabe schon fast gelöst.
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dreh hier am Rad...

Also, wenn das keine Taylorreihe sondern ein Polynom ist... Dann ist die Aufgabenstellung "Entwickeln Sie an der Stelle 0 eine Taylorreihe bis zur dritten Potenz" nicht zutreffen oder?

Des Weiteren sind im meinem Script folgende Sachen so definiert:

Potenzreihe:

(Wie bei dir)

Taylorreihe:


+ Dem Restglied!

Also im Prinzip ist das ja identisch mit deinem. Aber warum hast du kein Restglied?

Konvergenzradius:



respektive




Also benötige ich jetzt :

Allerdings weiß ich nicht ansatzweise wie ich darauf kommen soll geschweige denn, wie du auf das gekommen bist...

Und wozu überhaipt f^n+1?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007
Ich dreh hier am Rad...

Also, wenn das keine Taylorreihe sondern ein Polynom ist... Dann ist die Aufgabenstellung "Entwickeln Sie an der Stelle 0 eine Taylorreihe bis zur dritten Potenz" nicht zutreffen oder?


Im Prinzip sollte die Aufgabenstellun lauten, dass die Funktion in ein Taylorpolynom der dritten Potenz entwickelt werden soll, nicht in eine Reihe, der Fehler taucht aber häufig auf.

Zitat:
Original von Student007
Des Weiteren sind im meinem Script folgende Sachen so definiert:

Potenzreihe:

(Wie bei dir)

Taylorreihe:


+ Dem Restglied!

Also im Prinzip ist das ja identisch mit deinem. Aber warum hast du kein Restglied?


Wenn man unendlich viele Summanden hat, wieso sollte man da ein Restglied dranhängen? verwirrt

Das Taylorpolynom vom Grad n mit hat ein Restglied, betrachte, dass es einmal die obere Grenze n gibt, bis zu der aufsummiert wird und einmal keine obere Grenze, die Reihe also bis unendlich läuft.

Zitat:
Original von Student007
Konvergenzradius:



respektive




Also benötige ich jetzt :

Allerdings weiß ich nicht ansatzweise wie ich darauf kommen soll geschweige denn, wie du auf das gekommen bist...


Zuerst einmal würde ich die Quotientenregel wählen, weil man recht schwer eine explizite Darstellung finden wird, mir war es nicht möglich bei genauem hinsehen.

Wir betrachten einmal die ersten paar Ableitungen an der Stelle :









....

Der Exponent wandert also vor die vorherige Ableitung, und der Exponent der n-ten Ableitung ist . Bilden wir also die n+1-te Ableitung, so erhalten wir




Zitat:
Original von Student007
Und wozu überhaipt f^n+1?


Um die n+1-te Ableitung darzustellen in Abhängigkeit von der n-ten Ableitung an der Stelle . Man nennt so etwas rekursive Darstellung von Folgen. Irgeneine Darstellung der gesuchten Folge müssen wir ja haben, sonst wird das nichts mit dem Konvergenzradius......

Wenn du ein bisschen online bleibst sollten wir die Aufgabe heute noch hinbekommen hoffe ich....
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine Mühe!

Ja, im Prinzip bin ich ganze Zeit online, allerdings muss ich mich erst immer zurecht finden...

okay, warum ich auf habe ich verstanden.

jetzt benötige ich ja:

:

ich habe die rekursive Darstellung von n+1-te Ableitung und will jz auf die nte Ableitung schließen...

Bin ich bis hier richtig? Wie komm ich am besten von n+1 zu n?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn bis hierhin alles klar ist sollte der Rest eher unproblematisch sein.

Wir haben:



und



Jetzt bilde einmal
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

mhh verwirrt



Das war nicht gemeint oder Big Laugh
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry:

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die hoch/tiefstellung funktioniert scheinbar nicht bei dir, nutze geschweifte Klammmern für den hochzustellenden Ausdruck.

Aber wenn ich das richtig interpretiere ist es fast richtig.

Du hast:

Zitat:




Schau dir den Nenner noch mal an

Wenn du in statt dem n ein (n+1) einsetzt, was wird dann daraus?
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wird daraus:


lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, jetzt kann man einsetzen, die rekursive Darstellung, die wir hatten, was erhälst du dann?
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Als letzten Schritt dann noch durch darstellen und einsetzen, also unsere Darstellung von nach auflösen und einsetzen, dann haben wir eine rekursive Darstellung von .
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

da stehte ich jetzt aufem Schlauch...

ist es so richtig?

Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007


Jap, ist richtig, n! kann man noch kürzen, dann erhalten wir also

So, nun die Quotientenregel und Grenzwert bestimmen und fertig ist die Chose.

Noch eine Anmerkung hierzu:

Zitat:

Ich denke die Aufgabe ist schon so zu verstehen, dass man den Konvergenzradius der Taylorreihe bestimmen soll. Man hat in der 1. Teilaufgabe die ersten 3 Koeff. als Aufwärm-übung bestimmt und soll von den ersten drei Koeff. auf alle restlichen schliessen. Das Schema is hier ja sehr offensichtlich


Es ist bei Taylorreihen eher unüblich, von 3 bekannten Koeffizienten auf eine explizite Darstellung schließen zu können, und wie man sieht, ist es auch nicht immer unbedingt einfach, ich habe das ganze mal durch Matlab laufen lassen und auch Matlab hat keine explizite Darstellung der Folge gefunden, Wolfram alpha auch nicht. Es ist also wirklich besser, erst mal rekursiv zu arbeiten und dann zu schauen, was es bringt, anstatt anhand einer kleinen Anzahl von Koeffizienten eine Vermutung zu äußern. Ferner ist es so, dass diese Vermutung dann auch noch bewisen werden müsste. Bei unserer Aufgabe ist eine rekursive Darstellung duch die Ableitungsregeln eindeutig gegeben, genau genommen müsste man das auch noch beweisen, halte ich aber für unnötig, wenn man entsprechend argumentiert (ableitungsregeln und für alle q aus Q).
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »





Bin ich bis hier richtig?!? oder hab ich was übersehen?

Dann in Quotientenregel einsetzen und es kürzt sich alles weg, so dass ich am Ende 1/1 habe?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007




Wie du darauf kommst verstehe ich nicht.

Setze einfach ein in
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch eine weitere Frage.. in meinem Lehrbuch gehen die so vor:

Für folgende Potenzreihe soll der Konvergenzradius bestimmt werden.



und als Lösung steht dann da:



Wie kann man denn ohne Zwischenschritte dahin kommen? Haben die den gleichen weg benutzt...
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von Student007




Wie du darauf kommst verstehe ich nicht.

Setze einfach ein in


Okay, logisch.

Dann kürz sich mein weg und ich habe:



oder nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest haben:

, dann ist der Konvergenzradius ,

Also so ganz stimmt dein Schluss noch nicht, Grenzwertbestimmung gehört auch noch dazu.....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007
Ich hab noch eine weitere Frage.. in meinem Lehrbuch gehen die so vor:

Für folgende Potenzreihe soll der Konvergenzradius bestimmt werden.



und als Lösung steht dann da:



Wie kann man denn ohne Zwischenschritte dahin kommen? Haben die den gleichen weg benutzt...


Zwischen dieser Aufgabe und unserer besteht ein großer Unterschied, in dieser Aufgabe ist die Folge konkret gegeben und man muss nur noch einsetzen, wir mussten allerdings erst noch eine Darstellung der Folge finden, damit wir überhaupt den Konvergenzradius bestimmen können, und das hat die meiste Zeit in Anspruch genommen.
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Abend,

sry, dass ich mich jetzt erst melde, aber ich musste dringend in die Uni Big Laugh

Du bist echt ein super Typ, danke für deine Hilfe! Gott Gott Gott

Okay, bis hier hin bin jz auf Höhe (hoffe ich)

Jetzt muss ich noch den Grenzwerbestimmung, heißt doch für mich ich lasse n gegen unendlich laufen?

Dann hab ich im Zähler gegen + unendlich und der Nenner gegen -unenedlich...

wie komm ich jz auf meine 1 ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe den Bruch auseinander und kürze.
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

also wenn ich ihn auseinanderziehe habe ich ja das:



Allerdings sehe ich jetzt nicht, wo ich kürzen kann.
Der erste Bruch verläuft gegen -1 und der zweite gegen 0 und insgesamt auf Grund der Betragstriche gegen +1 ?
Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student007
Guten Morgen,

also wenn ich ihn auseinanderziehe habe ich ja das:



Allerdings sehe ich jetzt nicht, wo ich kürzen kann.
Der erste Bruch verläuft gegen -1 und der zweite gegen 0 und insgesamt auf Grund der Betragstriche gegen +1 ?


*Betragsstriche
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Der zweite Bruch läuft gegen 0, das ist richtig, der erste gegen -1, das ist auch richtig, also gegen 1, insgesamt richtig.

Man sieht das auch recht schnell, wenn man im ersten Bruch n kürzt:

Student007 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, super !

Vielen Dank für deine Unterstützung
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

War auch schwer genug die Geburt Augenzwinkern , ich hoffe, ich konnte für ein etwas besseres Verständnis sorgen.

Es ist bei Taylorreihen fast immer möglich, eine rekursive Darstellung der Ableitungen an der Stelle zu finden, diese ist häufig multiplikativ abhängig von der vorherigen Ableitung, was durch Konstruktion der Folge dazu führt, dass man auch hier eine rekursive Darstellung findet, die multiplikativ abhängig von dem vorherigen Folgenglied ist. Das wiederum führt dazu, dass man bei Anwendung des Quotientenkriteriums das kürzen kann und so auf eine explizite Darstellung verzichten kann, die rekursiven sind sowieso einfacher zu handhaben, finde ich jedenfalls.

Also, viel Erfolg noch und gerne wieder. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »