Verschoben! Höhenlinien und Kuhn Tucker

03.07.2013, 15:59

Peitho

Höhenlinien und Kuhn Tucker

Folgende Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} f(x) =x_{1}^{2}+x_{2}= max \end{eqnarray*}$
mit den Nebenbedingungen:

$\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 5 , x_{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$

a) Skizzieren Sie die Menge Z der zulässigen punkte. Tragen Sie in diese Skizze noch die zulässigen Höhenlinien von f zu den Höhen h=0,1,2,4,6 ein
b) Bestimmen Sie mögliche relative Extrema mit dem Kuhn-Tucker Ansatz.
Finden Sie mit Hilfe der Skizze aus a) heraus, welche Punkte relative Maxima sein könnten.

Meine Probleme bei der Skizze:
Ich gehe mit einer $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ Achse vor:
Ist die NB $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 5 \end{eqnarray*}$ ein einfacher Kreis um den Ursprung mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

Bei den Höhenlinien denke ich für die man setzt einfach $\begin{eqnarray*} 0 =x_{1}^{2}+x_{2} \end{eqnarray*}$ und für Null dann eben die Höhenlinien, ist $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+2x_{2} \end{eqnarray*}$ auch ein Kreis? Da für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ immer zwei Ergebnisse rauskommen.

Zum Kuhn-Tucker-Ansatz: ich habe das so Verstanden, dass es so ähnlich funktioniert wie Lagrange, also:
$\begin{eqnarray*} L= x_{1}^{2}+2x_{2}+\lambda (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta L}{\delta x_{1}} = 2x_{1}+2\lambda x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta L}{\delta x_{2}} = 2+2\lambda x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta L}{\delta x_{\lambda}} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die ersten Beiden Ableitungen teile erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$ , ich könnte dann noch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausrechnen usw. aber ist das überhaupt richtig. Oder geht man bei Kuhn-Tucker anders vor. ich verstehe den unterschied zu Lagrange nicht.

Danke schonmal für eure Antworten,

Liebe Grüße,

Peitho

04.07.2013, 07:10

Kasen75

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Hallo,

das

Zitat:

Ich gehe mit einer $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ Achse vor:
Ist die NB $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 5 \end{eqnarray*}$ ein einfacher Kreis um den Ursprung mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

ist richtig.

Für die Höhenlinien gilt die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=h_i \end{eqnarray*}$ . Je nachdem was bei dir f(x) ist. Das wird nicht so ganz klar aus deinem Beitrag.

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x_{1}^{2}+2x_{2} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die erste Höhenlinie für $\begin{eqnarray*} h_1=0 \end{eqnarray*}$ eben: $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}+2x_{2}=0 \end{eqnarray*}$ .

Diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen und die Funktion ins $\begin{eqnarray*} x_1-x_2- \end{eqnarray*}$ Koordinatensystem einzeichnen.

Das gleiche macht man dann noch für $\begin{eqnarray*} h_2=1,h_3=2,h_4=4,h_5=6 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zum Kuhn-Tucker-Ansatz: ich habe das so Verstanden, dass es so ähnlich funktioniert wie Lagrange ,..

Aber nur so ähnlich. Es wird im Prinzip so gemacht, wie der letzte Kasten auf dieser Seite (Link)
Bei dir ist aber nicht zwingend $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dies müsste man unter Umständen nochmal gesondert berücksichtigen. Es ist vielleicht günstig, wenn man erstmal nur den ersten Quadranten berücksichtigt und somit doch vorläufig $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ annimmt.

04.07.2013, 14:55

Peitho

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Erstmal, vielen Dank für die schnelle Antowort. smile

Die Höhenlinien stellen sich als umgekehrte Parabeln da und schneiden meinen Kreis in $\begin{eqnarray*} (2/1) bzw. (-2/1). \end{eqnarray*}$

Nach rumprobieren bekomme ich auch zwei Lösungen für Maxima, gleich denen oben.

ich hab die Lagrangefunktion aber noch verändert zu:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x_{1}^{2}+2x_{2}+\lambda_{1}(5-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\beta^{2})+ \lambda _{2}(x_{2}-\alpha^{2}) \end{eqnarray*}$

da meine Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x_{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ gefehlt hat und die Schlupfvariablen. Denke die sind aber nur zur Notation wichtig.

Dann eben so verfahren wie auf der Seite die du mir geschickt hast, ich fand das ganz gut erklärt.
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gilt bei mir $\begin{eqnarray*} \lambda=(1,0) \end{eqnarray*}$ und im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} \lambda=(0,1) \end{eqnarray*}$

Mit der graphischen Lösung hab ich das so verstanden, dass es auf den höchsten Funktionswert ankommt - ich also einfach nach der "höchsten" Höhenlinie (hier: 6) geschaut habe, diese aber meinen Kreis, also die zulässige Menge nur in zwei Punkten tangiert. Die Spitze vom Kreis, also bei $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ ist in dem Fall kein Höhepunkt, da er unterhalb der Höhenlinie 6 liegt.

So ungefähr, ich denke das sollte stimmen.

Danke dir nochmal Tanzen

Gruß,

peitho

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