Polynom Interpolation

03.07.2013, 16:18

Mitsou

Polynom Interpolation

Meine Frage:
Hallo,

bin ziemlich verzweifelt, steh gerade auf dem Schlauch und hoffe sehr dass mir jemand weiterhelfen kann.

Gesucht sei das Polynom P, das die Interpolationsaufgabe P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1 löst. Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem bezüglich der Basis auf (Lösung des Gleichungssystems ist nicht erforderlich).
p1(x) = 2x?2? 2
p2(x) = x+1
p3(x) = 1

Lösen Sie die Interpolationsaufgabe aus obiger Aufgabe

mit Hilfe der Newton-Interpolation
mit Hilfe von Lagrange-Polynomen

Meine Ideen:

Ich weiß wie man Punkte mit der Newton-Interpolation und den Lagrange-Polynomen berechnet. Ich bin mir aber nicht sicher, ob P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1 die x und y Werte sind oder ob die Bezeichnung P(1),P(2) und P(3) einfach nur eine Nummerierung ist und der x Wert nicht vorhanden ist?

03.07.2013, 18:11

Math1986

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RE: Polynom Interpolation
Bemühe dich doch, deine Beiträge lesbar dazustellen (Wie kann man Formeln schreiben?)

Die Aufgabenstellung ist hier recht klar fomuliert:

Zitat:

Gesucht sei das Polynom P, das die Interpolationsaufgabe P(0)=1, P(1)=2, P(2)=1 löst.

D.h. bei 0,1,2 handelt es sich um die x-Koordinaten.

03.07.2013, 18:39

Mitsou

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RE: Polynom Interpolation
Vielen Dank für deine Antwort! Dann ich kann ich mit den Punkten die Newton Interpolation berechnen.

P(0,1) P (1,2) P(2,1)

$\begin{eqnarray*} x0=0, x1= 1, x2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y0=1, y1= 2, y2=1 \end{eqnarray*}$

c0= y0= 1

c1= $\begin{eqnarray*} \frac{y1-c0}{x1-x0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2-1}{1-0} \end{eqnarray*}$ =1

c2= $\begin{eqnarray*} \frac{y2-c0-c1(x2-x0)}{(x2-x0) (x2-x1)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1-1-1 (2-0)}{(2-0)(2-1)} \end{eqnarray*}$ =-1

p(x)= $\begin{eqnarray*} c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1) \end{eqnarray*}$
p(x)= $\begin{eqnarray*} 1+1(x-0)-1 (x-0) (x-1) \end{eqnarray*}$
p(x)= $\begin{eqnarray*} 2-x^{2}-x \end{eqnarray*}$
p(x)=- $\begin{eqnarray*} x^{2}+x \end{eqnarray*}$

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ergibt:
p(x)= $\begin{eqnarray*} -x^{2}+2x+1 \end{eqnarray*}$ Müsste das Polynom der Newton Interpolation nicht gleich des LGS sein?

03.07.2013, 19:05

Math1986

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RE: Polynom Interpolation
Diese Lösung
$\begin{eqnarray*} p(x)=-x^2+x \end{eqnarray*}$
interpoliert dir nicht die gegebenen Punkte.

Ich weiß nicht ganz, welches LGS du meinst. Normalerweise löst man zur Bestimmung der Koeffizienten nicht das LGS, sondern man wendet das Schema der dividierten Differenzen an. Hattet ihr das schon?

03.07.2013, 21:50

Mitsou

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RE: Polynom Interpolation
Ist das die Lösung der Newton Interpolation:

P(0,1) P (1,2) P(2,1)

c0= y0= 1

c1= y1-c0/x1-x0= 2-1/1-0=1

c2= y2-c0-c1(x2-x0)/(x2-x0) (x2-x1)=1-1-1 (2-0)/(2-0)(2-1)=-1

p(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)
p(x)= 1+1(x-0)-1 (x-0) (x-1)
p(x)= 2x-x²-x
p(x)=-x²+x

Ich finde die Lösung sieht sehr eigenartig aus, das Gleichungssystem ergibt für das Polynom
p(x)= -1/2x2+2x-2. Die Lösung der Newton Intepolation erzeugt aber ein anderes Ergebnis.

Was mache ich falsch?

03.07.2013, 21:52

Mitsou

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RE: Polynom Interpolation
P(×)=-×2+ 2×+1 ist richtig, habe mich verrechnet.

04.07.2013, 20:43

Math1986

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RE: Polynom Interpolation
Bitte benutze doch latex, oder setze zumindest richtig deine klammern.
$\begin{eqnarray*} P(x)=-x^2+2x+1 \end{eqnarray*}$
ist die richtige Lösung.

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