Umstellung von e^{x} -e^{-x} zu e^{2x} - 1 ?

03.07.2013, 23:39

Thet4n

Umstellung von e^{x} -e^{-x} zu e^{2x} - 1 ?

Meine Frage:
jo ich wollte mal fragen, wie man von $\begin{eqnarray*} e^{x} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ zu dem Term $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 1 \end{eqnarray*}$ kommt.

Meine Ideen:
die Umstellung von hier: http://www.matheboard.de/archive/480386/thread.html

$\begin{eqnarray*} e^{x} - e^{-x} + e^{-x} - e^{-x} \end{eqnarray*}$

hab ich schon probiert.

So, aber jetzt hab ich folgendes Problem , wenn ich das mache komm ich nur auf $\begin{eqnarray*} 1- e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jedoch $\begin{eqnarray*} e^{x} - e^{-x} + e^{x} - e^{x} \end{eqnarray*}$ nehme, komm ich auf $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 1 \end{eqnarray*}$ was ich auch brauche.

Nun frage ich mich wie das möglich ist, weil ich im Endeffekt ja in beiden Fällen einfach nur $\begin{eqnarray*} + 0 \end{eqnarray*}$ rechne.

Deshalb wollte ich mal Hilfe erbitten weil bin nicht zu 100% fit ,in sachen Termumformung .

Vielen dank schonmal smile

03.07.2013, 23:51

chris95

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Achtung:

Im Allgemeinen gilt: $\begin{eqnarray*} e^x - e^{-x} \ne e^{2x} -1 \end{eqnarray*}$ .

Nimm z.B. x=1 und setze ein.

03.07.2013, 23:54

10001000Nick1

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RE: Umstellung von [latex] e^{x} -e^{-x} [/latex] zu [latex] e^{2x} - 1 [/latex] ?

Zitat:

Original von Thet4n
jo ich wollte mal fragen, wie man von $\begin{eqnarray*} e^{x} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ zu dem Term $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 1 \end{eqnarray*}$ kommt.

Das wüsste ich auch gern, wie das gehen soll. Das ist nämlich nicht das gleiche, außer für x=0.

Oh, da war ich wohl mal wieder viel zu langsam... geschockt

04.07.2013, 06:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Thet4n
wie man von $\begin{eqnarray*} e^{x} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ zu dem Term $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 1 \end{eqnarray*}$ kommt.

Im "weiteren Sinne" durch Ausklammern

$\begin{eqnarray*} e^{x} -e^{-x} = e^{-x} \left( e^{2x} - 1 \right) \end{eqnarray*}$ ,

vielleicht geht es dir ja darum. Augenzwinkern

EDIT: Aha, eben erst den von dir verlinkten Thread gesehen, dann hab ich wohl den Nagel auf den Kopf getroffen, denn mit eben dieser Ausklammerung folgt

$\begin{eqnarray*} \tanh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{e^{-x}(e^{2x}-1)}{e^{-x}(e^{2x}+1)} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \frac{(e^{2x}+1)-2}{e^{2x}+1} = 1-\frac{2}{e^{2x}+1} \end{eqnarray*}$

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