Volumenberechnung (Cavalieri)

04.07.2013, 10:00	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung (Cavalieri) Heyyy Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht klar komme ... Sei $\begin{eqnarray} P := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R : ax^{2}+2bxy+cy^{2} \leq z \leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine positiv-definite Matrix ist. Man berechne das Volumen von P. Ich habe leider überhaupt keine Idee ... Ich würde hier aber das Cavalierische Prinzip und Satz von Fubini anwenden wollen.
04.07.2013, 11:17	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalierische Prinzip Da die Koeffizienten eine positiv-definite symmetrische Matrix bilden, gibt es ein Hauptachsensystem $\begin{eqnarray} \overline{x}, \overline{y} \end{eqnarray}$ , so dass der Ausdruck links des Ungleichheitszeichens in eine Normalform übergeht. Durch diese Transformation ändert sich die Fläche nur, wenn zusätzlich skaliert wird.
04.07.2013, 11:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sage mal volkstümlich, was du machen sollst: Der Körper, dessen Volumen du berechnen sollst, ist ein nach oben geöffnetes Paraboloid der Höhe z=1 (also etwa die Kappe eines Ei, dessen Spitze auf dem Nullpunkt steht). Wenn man diese Kappe in Scheiben schneidet (parallel zur xy-Ebene) erhält man ellipsenförmige Eier-Scheiben. Die Hauptachsen dieser Ellipsen sind aber gegenüber der xy-Koordinatenachsen verdreht. Finde eine Drehung des xy-Koordinatensystems um die z-Achse derart, dass die Hauptachsen der Ellipsen genau mit den xy-Koordinatenachsen übereinstimmen (Hauptachsentransformation). Der Sinn dieser Drehung ist, dass im gedrehten Koordinatensystem der gemischte Summand 2bxy verschwindet, so dass nur die rein quadratische Summanden Ax²+Cy² übrigbleiben (=Normalform). In diesem gedrehten Koordinanten kann man Flächeninhalt jeder einzelnen Ellipse-Scheiben leicht angeben, denn dafür gibt es eine fertige Formel. Das Volumen des gesamten Körpers ergibt sich, wenn man die Volumina aller Scheiben mit der differenziellen Dicke dz summiert (z-Integral).
04.07.2013, 18:14	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cavalierische Prinzip Hey, ... Vielen Dank für eure Antworten: @Ehos: Ich stell mir das jetzt so wie auf meinem Bild vor, beim Cavalierischen Prinzip, dann in einzelne Schichten zerlegt. Aber leider weiß ich nicht, warum jetzt die Hauptachsen verdreht sind? Das wäre nett wenn du mir das noch einmal erklären könntest , dann könnte ich deine folgeaussagen auch besser deuten .. @zyko: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du meinst das sicherlich so, oder?.. Liebe Grüße Euch beiden ..
05.07.2013, 09:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Skizze ist genau richtig. Das Ellipsoid hat in Matrixform die Gestalt $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die kleine und große Achse der Ellipsen-Scheiben in deiner Skizze zeigen nicht in Richtung der yx-Achsen, sondern sind verdeht. Formal erkennt man dies daran, dass in der Matrix Nichtdiagonalelemente auftreten, also $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ . Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man aber stets erreichen, dass die Hauptachsen der Ellipse in die Koordinatenrichtungen zeigen, so dass die Nichtdiagonalelemente b verschwinden. Eine Drehung der xy-Ebene um einen Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ lautet allgemein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei sind x', y' die neuen, gedrehten Koordinaten. Setzt man dies oben ein, ergibt sich nach Ausmultiplizieren der Matrizen $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} a\cos^2(\phi)-2b\cos(\phi)+c\sin^2(\phi) & (a-c)\sin(\phi)\cos(\phi)+b[\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)] \\(a-c)\sin(\phi)\cos(\phi)+b[\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)] & a\cos^2(\phi)+2b\cos(\phi)+c\sin^2(\phi) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die beiden neuen Nichtdiagoanlelemente b' sind identisch (wie vorher). Die Frage ist, wei welchem Drehwinkel diese verschwinden, also $\begin{eqnarray} b'=0=(a-c)\sin(\phi)\cos(\phi)+b[\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)] \end{eqnarray}$ Mit den allgemeinen Formeln $\begin{eqnarray} \sin(\phi) \cos(\phi)=\tfrac{1}{2}\sin(2\phi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos^2(\phi)-\sin^2(\phi)=\cos(2\phi) \end{eqnarray}$ kann man dies vereinfachen zu $\begin{eqnarray} 0=\tfrac{1}{2}(a-c)\sin(2\phi)+b\cos(2\phi) \end{eqnarray}$ Umstellen ergibt den Drehwinkel, bei dem die Nichtdiagonalelemente verschwinden, nämlich $\begin{eqnarray} \tan(2\phi)=\tfrac{2b}{c-a} \end{eqnarray}$ Genau bei diesem Drehwinkel sind die beiden Hauptachen der Ellipsen-Scheiben (in deiner Skizze) also so gedreht, dass sie mit den xy- Koordinatenachsen übereinstimmen. (Aus diesem Grunde trägt diese Transformation den Namen "Hauptachsentransformation"). Deine obige Gleichung hat somit im gedrehten Koordinatensystem die besonders einfache Gestalt $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} a' & 0 \\ 0 & c' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} =a'x'^2+c'y'^2 \end{eqnarray}$ Die Flächeninhalte derartiger Ellipsen kann man mit einer fertigen Formel berechnen. Um das Volumen der "Kappe" zu berechnen, muss man noch über z im Intervall [0;1] integrieren.

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